Construir la imagen de una figura por un giro

Al comparar una figura con la imagen que se obtiene al hacerla girar en un plano, observamos que se mantienen su forma y su tamaño. Pero, ¿cómo construimos la imagen de una figura por un giro, y cuáles son las propiedades de esta transformación?

I. Definición
SeanOyMdos puntos diferentes del plano, yαun ángulo dado en grados

Construir la imagen de una figura por un giro

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LlamemosM’a un punto sobre la circunferencia con centro enOque pasa porMy tal que

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Si al recorrer el arcoMM’, nos movemos deMaM’en el sentido de las agujas del reloj, decimos que el puntoM’es la imagen deMpor el giro de centroOy ánguloα, en el sentido de las agujas del reloj.

Si al recorrer el arcoMM’, nos movemos deMaM’en el sentido contrario a las agujas del reloj, decimos que el puntoM’es la imagen deMpor el giro de centroOy ánguloα, en sentido contrario a las agujas del reloj.

Caso particular:
SiOes el punto medio de un segmentoMM’, entoncesM’es la imagen deMpor un giro de 180° con centro enO(en este caso, el sentido no importa); la imagen de un puntoOpor un giro de centroOes el mismo puntoO.

Ejemplos: sobre la figura 4, podemos decir que:
—el puntoM’es la imagen del puntoMpor un giro de 120° de centroOen sentido contrario a las agujas del reloj;
—el puntoBes la imagen del puntoApor un giro de 45° de centroIen el sentido de las agujas del reloj.

Nota: si no se especifica el sentido en que se realiza el giro, se escoge el sentido antihorario, contrario a las agujas del reloj. Esto es lo que sucede en todos los ejemplos que vienen a continuación.
II. Figuras elementales
1. Imagen de una recta
En la figura 5 construimos la imagen de una rectadpor un giro de 70° de centroO.Para ello, hemos situado los puntosA,B,C,EyFsobre la rectady hemos construido sus respectivas imágenes por dicho giro. Comprobamos que los puntosA’,B’,C‘,E’yF’están alineados.

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Así, admitiremos esta propiedad: un giro transforma puntos alineados en puntos alineados.
Sid’es la recta que pasa por los puntosA’,B’,C’,E’yF’, admitiremos qued’es la imagen de la rectadpor un giro de 70° de centroO.
Propiedad: la imagen de una recta por un giro es una recta.
2. Imagen de un segmento
En la figura 6, construimos la imagen de un segmentoABpor un giro de 90° de centroO. Para ello, hemos obtenido las imágenesA’yB’deAyBpor este giro.

Admitimos que el segmentoA’B’es la imagen del segmentoABpor un giro de 90° de centroO. Observamos que los segmentosAByA’B’tienen la misma longitud.
Admitiremos esta propiedad general de los giros: un giro conserva las longitudes, es decir, siA’yB’son las imágenes respectivas deAyBpor un giro, entoncesA’B’=AB.
3. Imagen de un triángulo
En la figura 7, construimos la imagen de un triángulo por un giro de 120° de centroO. Para ello, hemos obtenido las imágenesA’,B’yC’deA,ByCpor este giro.

Admitimos que el triángulo

es la imagen del triángulo

por un giro de 120° de centroO. Observamos que los ángulos

tienen la misma amplitud.
Admitiremos esta propiedad general de los giros: un giro conserva los ángulos, es decir, siA’,B’yC’son las imágenes de tres puntos distintos por un giro, entonces

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4. Imagen de una figura cualquiera
Las propiedades generales de un giro que hemos visto anteriormente nos permiten afirmar que los giros mantienen la forma y el tamaño de las figuras.
Por ejemplo, la imagen de un círculo por un giro es otro círculo con el mismo radio, y la imagen de un cuadrado por un giro es otro cuadrado con el mismo lado.
III. Figuras que no varían al girar
La figura 8 representa un cuadradoABCDde centroO.
Construimos la imagen de este cuadrado por un giro de 90° de centroO. Para ello, construimos las imágenes de los puntosA,B,CyDpor este giro.
Comprobamos que:Atiene como imagen aD,Btiene como imagen aA,Ctiene como imagen aB, yDtiene como imagen aC.
Por tanto, la imagen del cuadradoABCDpor un giro de 90° es el mismo cuadradoABCD. Podemos decir que el cuadrado no varía por este giro.