El concepto de traslación, ilustrado en la figura 1, nos permite introducir el concepto de vector. Los vectores se usan en matemáticas, y también en física para representar, por ejemplo, una fuerza o una velocidad.
¿Qué relación hay entre las traslaciones y los vectores?
I. Definición y notación de un vector
En la figura 2,ABDC,CDFE,EFHGyGHJIson paralelogramos.
Podemos decir que:
—la traslación que transformaAenBtambién transformaCenD;
—la traslación que transformaCenDtambién transformaEenF;
—la traslación que transformaEenFtambién transformaGenH;
—la traslación que transformaGenHtambién transformaIenJ.
Así pues, la traslación que transformaAenB,CenD,EenF,GenH, eIenJes la misma.
Y podemos decir que los pares de puntos (A,B), (C,D), (E,F), (G,H) y (I,J) representan al mismovector.
Escribimos
=
=
=
=
, y
se lee “vectorAB”.
También podemos representar el vector con una única letra minúscula con una flecha encima o en letra negrita, sin flecha, por ejemplo,uo
(tantoucomo
se leen “vectoru”), y decimos que
,
,
,
e
representan todos a
.
Podemos entonces escribir:
=
=
=
=
=
.
Los puntosAyBson elorigen(o punto de aplicación) y elextremodel vector
, respectivamente.
No hay que confundir los vectores
y
, ya que son vectores opuestos.
Gráficamente, un vector se representa con una flecha, como podemos ver en la figura 3.
Nota: un vector se puede representar infinitas veces, en distintas posiciones (por ejemplo, el vector
de la figura anterior, aparece representado cinco veces).
II. Vectores y traslaciones
Definición: la traslación que transformaAenBse llama traslación de vector
.
Podemos decir que:
—siDes la imagen deCpor una traslación de vector
, entonces
=
;
—si
=
, entoncesDes la imagen deCpor una traslación de vector
.
Ejemplo 1: una traslación transforma un puntoRen otro puntoP; el puntoTes la imagen del puntoOpor esta misma traslación. ¿Cómo podemos expresar esto en una igualdad vectorial?
La traslación que transformaRenPtambién transformaOenT. Luego, por definición, tenemos que
=
.
Ejemplo 2: ¿qué traslación vendría definida por la igualdad vectorial
=
?
La traslación que transformaMenNtambién transformaWenZ, de manera queZes la imagen deWpor la traslación de vector
.
III. Características de un vector
Observemos de nuevo la figura en la que
,
,
,
e
representan al mismo vector
y tratemos de deducir las características de este vector.
Las rectasAB,CD,EF,GHeIJson paralelas entre sí, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos. Por tanto, podemos decir que las rectasAB,CD,EF,GHeIJtienen la misma dirección.
Decimos que esta es ladireccióndel vector
.
Observemos el orden de los puntos en las parejas (A,B), (C,D), (E,F), (G,H) y (I,J)). El dibujo nos permite decir que el sentido deAhaciaB, deChaciaD, deEhaciaF, deGhaciaHo deIhaciaJes el mismo: el que indican las flechas sobre las letras,
,
,
,
e
. Este es elsentidodel vector
.
Finalmente, las longitudes de los segmentosAB,CD,EF,GHeIJson iguales, ya que los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. A la longitud común de los segmentosAB,CD,EF,GHeIJse le llamamagnitudomódulodel vector
.
En resumen: un vector está caracterizado por su dirección, su sentido y su módulo.
Nota: solo hay un vector que no tiene dirección ni sentido: el vector nulo. El módulo de este vector es cero.
Ángulos
Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos
Circunferencia y circulo
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia
Cuerpos de Revolución
Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera
Geometría en el espacio
Geometría plana
Usar una regla y un cartabón
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz
Movimientos
Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial
Poliedros
Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
Calcular el área de un romboide
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo
Calcular el área de un triángulo
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Como construir un paralelogramo o paralelogramas
Usar las propiedades de un paralelogramo
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
Polígonos
Construir diferentes polígonos regulares
Usar una regla y un transportador de ángulos
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
Construir un triángulo
Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
Triángulos semejantes
Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana
Semejanzas
Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos
Trigonometría
Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo
Vectores
Vector de coordenadas
Cálculos vectoriales y sus coordenadas
Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento
Traslación vectorial
Espacios vectoriales ejemplos
Ecuación vectorial y traslación
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
