Tenemos que dibujar el segmento más corto que une el punto con la recta. ¿Por qué hemos de utilizar una escuadra?
I. Distancia de un punto a una recta
1. Propiedad
Searuna recta cualquiera yAun punto del plano.Hes el punto en el que la perpendicular a la rectar, trazada desde el puntoA,corta a dicha rectar.Hes el punto dermás próximo al puntoA.
En la figura vemos que siMes un punto de la recta diferente deH, entoncesAM>AH.
2. Demostración
En primer lugar observamos que esta propiedad se cumple siApertenece ar. Efectivamente, en este caso,H=Ay por tantoAH= 0, y siMes diferente deH(por tanto, también diferente deA) entoncesAM> 0.
A continuación, consideramos el caso en queAno pertenezca ar. Utilizando de nuevo la figura 1, construimos el puntoA’,simétrico deAcon respecto ar.
La rectaAA’es perpendicular ar. Los puntosA,HyA’están alineados yHes el centro del segmentoAA’. Se cumple queAA’= 2AH. (1)
Además, comoMestá sobre la rectar, se cumple queA’M=AM. (2)
Consideremos los tres puntosA,A’yM. Por la propiedad de un triángulo según la cual la longitud de uno cualquiera de sus lados es siempre menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos, se cumple que:
.
Usando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos
. Simplificando esta inecuación, dividiendo sus dos miembros entre 2, resulta:
, que es lo que queríamos demostrar.
3. Definición
Searuna recta cualquiera,Aun punto yHel punto donde corta la perpendicular a la rectartrazada desde el puntoA.
La distancia del puntoAa la rectares la longitud del segmentoAH.
En el apartado I.1 vimos que esta es la distancia más corta entreAy un punto de la rectar.
II. Consecuencias
1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo
Propiedad: Sea
un triángulo rectángulo, cuyo ángulo recto corresponde al vérticeA. La hipotenusaBCes su lado más largo.
—La distancia deBa la rectaACesBA, por tanto,BC>BA.
—La distancia deCa la rectaABesCA, por tanto,BC>CA.
Esto prueba que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.
2. Puntos situados a cierta distancia de una recta dada
Propiedad: Searuna recta ydun número real positivo. El conjunto de puntos situados a una distanciadde la rectarforma dos rectas que son paralelas ar.
Aplicación: seanrysdos rectas secantes. Hallar los puntos que distan 2 cm dery 3 cm des.
Hemos dibujado de rojo el conjunto de puntos que distan 2 cm dery de verde el conjunto de puntos que distan 3 cm des.
Estas cuatro rectas se cortan enA,B,CyD, que son los puntos que distan 2 cm dery 3 cm des.
Ángulos
Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos
Circunferencia y circulo
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia
Cuerpos de Revolución
Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera
Geometría en el espacio
Geometría plana
Usar una regla y un cartabón
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz
Movimientos
Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial
Poliedros
Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
Calcular el área de un romboide
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo
Calcular el área de un triángulo
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Como construir un paralelogramo o paralelogramas
Usar las propiedades de un paralelogramo
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
Polígonos
Construir diferentes polígonos regulares
Usar una regla y un transportador de ángulos
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
Construir un triángulo
Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
Triángulos semejantes
Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana
Semejanzas
Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos
Trigonometría
Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo
Vectores
Vector de coordenadas
Cálculos vectoriales y sus coordenadas
Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento
Traslación vectorial
Espacios vectoriales ejemplos
Ecuación vectorial y traslación
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
