Un cucurucho de helado, el sombrero de un mago y la llama de una antorcha son todos distintos tipos de cono.
¿Cuál es la definición matemática de este sólido? Y, ¿cómo podemos construir uno?
I. Descripción de un cono recto
1. Observación
Observa el cono recto que hay dibujado arriba en perspectiva.
El cono es un sólido con los siguientes elementos:
—unabase, que es el círculo sobre el que se apoya; el círculo de la ilustración tiene uncentroenOy unradior.
—unasuperficie lateral, que es la cara curva del cono, creada por todos los segmentos que se pueden trazar al unir el puntoScon todos los puntos del borde del círculo que forman su base. Estos segmentos se llamangeneratricesdel cono; todas ellas son de la misma longitud y las identificaremos mediante la letrag.
El puntoSdescansa sobre una línea que pasa porOy es perpendicular al plano del círculo. El puntoSse llamavérticedel cono y el segmentoSO(también llamadoh) es laalturadel cono.
Si recordamos el teorema de Pitágoras, podemos comprobar que en un cono recto se cumple que:
.
Nota: la expresiónaltura de un cono rectopuede usarse tanto para referirse al segmentoSOcomo a su longitud.
2. ¿Qué es un cono recto?
Un cono recto es un cuerpo geométrico formado por dos superficies: una plana y circular, que es la base, y otra curva, llamada superficie lateral. Esta última es generada por la hipotenusa (generatriz) de un triángulo rectángulo cuando se le hace girar en torno a uno de sus catetos. Dado que el cono es un cuerpo que se forma en el espacio al hacer girar o rotar una figura plana, se dice que el cono es uncuerpo de revolución(la palabrarevoluciónderiva de la palabra latinavolvere,que significa “rotar”).
Un experimento puede ayudarnos a entender todo esto:
—fijamos una goma a los extremosSyOdel cateto de un triángulo rectángulo;
—enroscamos la goma y la soltamos de golpe: el triángulo comienza a girar y podremos ver cómo se dibuja en el aire una figura geométrica que llamaremos cono de revolución.
El cono es creado por la revolución (rotación) del triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos. Este es el motivo por el cual la superficie del cono recibe el nombre de superficie de revolución.
Todos los cuerpos geométricos que se pueden crear mediante este proceso se llaman cuerpos de revolución.
No todos los conos tienen superficies generadas por revolución. La figura 3 nos muestra un cono en el que su superficie lateral no es una superficie de revolución.
II. Construir un cono recto
Podemos conseguir el desarrollo de un cono recto cuyo radio mide 3 cm y que tiene una altura de 4 cm.
Vamos a entenderlo observando la ilustración de abajo. Imagina que hemos impregnado de tinta toda la superficie lateral del cono. Si estampamos el cono y lo hacemos rodar sobre una hoja de papel, conseguimos dibujar una figura geométrica en forma de sector circular. Lo que estamos viendo es el desarrollo de la superficie lateral del cono.
El desarrollo de la base es un círculo con un radio de 3 cm y el desarrollo de la superficie lateral es un sector circular. Para poder dibujar este desarrollo, necesitamos calcular el radio y la amplitud angular de este sector.
El radio del sector circular obtenido es igual a la longitud de la generatrizg(oSM) del cono. Calcular la longitud deges lo mismo que hallar el valor de la hipotenusa del triángulo rectángulo
. Como ya hemos visto, aplicando el teorema de Pitágoras:
, por lo tanto,
. Es decir, el radio del sector circular mide 5 cm.
La longitud del arco del sector circular es igual al perímetro de la base del cono. Como ya sabemos que
, el valor del perímetro sería:
.
El perímetro de la circunferencia mayor, donde estaría insertado el sector circular sería de:
.
Si llamamosxal ángulo del sector circular, podemos escribir la siguiente proporción:
Por lo tanto,
; que si eliminamos denominadores:
; y si despejamos y simplificamos obtenemos:
El ángulo del sector que nos muestra el desarrollo de este cono mide 216°.
Ángulos
Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos
Circunferencia y circulo
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia
Cuerpos de Revolución
Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera
Geometría en el espacio
Geometría plana
Usar una regla y un cartabón
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz
Movimientos
Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial
Poliedros
Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
Calcular el área de un romboide
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo
Calcular el área de un triángulo
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Como construir un paralelogramo o paralelogramas
Usar las propiedades de un paralelogramo
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
Polígonos
Construir diferentes polígonos regulares
Usar una regla y un transportador de ángulos
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
Construir un triángulo
Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
Triángulos semejantes
Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana
Semejanzas
Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos
Trigonometría
Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo
Vectores
Vector de coordenadas
Cálculos vectoriales y sus coordenadas
Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento
Traslación vectorial
Espacios vectoriales ejemplos
Ecuación vectorial y traslación
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
