Calcular la distancia entre dos puntos

Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar puntos sobre un plano, podemos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano conociendo sus coordenadas.

¿Cómo calcular esa distancia? ¿A qué lo podemos aplicar?

I. La fórmula
Sea un sistema de coordenadas cartesianasxy, y seanAyBdos puntos del plano, de coordenadas (x,y) e (x’,y’), respectivamente.

La distancia entre esos dos puntosAyBviene dada por la fórmula:


II. Aplicaciones
1. Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo
Situamos los puntosA(-2, -3),B(-1, 3),C(4, -2) yD(5, 4) en un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.



Vamos a demostrar que el cuadriláteroACDBes un rombo. Para ello, calculamos la longitud de uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:






Así pues,d(A,C) =d(C,D) =d(D, B) =d(B,A), es decir, los cuatro lados del cuadriláteroACDBtienen la misma longitud, por tanto, es un rombo.


2. Determinar si tres puntos dados forman o no un triángulo rectángulo
Situemos los puntosA(2, -5),B(0, 3) yC(-3, 0) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.



Vamos a demostrar que el triánguloes rectángulo. Para ello, calculamos la longitud de cada uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:




Comparamosd(B, A)² yd(C, B)² +d(A, C)².
y.
d(B, A)² =d(C, B)² +d(A, C)², por tanto, el triángulotiene un ángulo recto enCde acuerdo con el teorema de Pitágoras.

3. Comprobar si un punto dado pertenece o no a una circunferencia
Situemos los puntosH(-1, 2) yM(3, 5) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro. Queremos demostrar queMes un punto que pertenece a la circunferencia de centroHy radio igual a 5.


Calculamos la distanciad(M, H). Aplicando la fórmula, obtenemos:
.
d(M,H) = 5. Por tanto,Mes un punto de la circunferencia con centro enHy radio igual a 5.

4. Comprobar que un punto está sobre la mediatriz de un segmento
Situemos los puntosE(0, 2),F(3, -1) yB(-1, -2) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

Calculamosd(E,B) yd(F,B):

.
d(E,B) =d(F,B). Es decir,Bes equidistante deEydeF, lo que demuestra queBestá sobre la mediatriz del segmentoEF.

Ángulos

Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
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Circunferencia y circulo

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Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
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Geometría en el espacio

Teoremas de geometría plana

Geometría plana

Usar una regla y un cartabón
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Movimientos

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Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial

Poliedros

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Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
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Polígonos

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Semejanzas

Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos

Trigonometría

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Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo

Vectores

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