Usar la suma de los ángulos de un triángulo

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180°.¿Cómo podemos usar esta propiedad cuando calculamos los ángulos de un triángulo?

I. Comprobando la propiedad

En la figura 1,es un triángulo cualquiera. La rectaxyes paralela aACy pasa por el vérticeB; la hemos dibujado para mostrar que los tres ángulos suman 180º.

Los ángulosyÂson alternos internos.
Nota: cuando dos paralelas son cortadas por una secante, se forman varios tipos de ángulos.

Los ángulos alternos internos son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos internos son iguales. Observa la ilustración: los ángulosyson alternos internos, y son iguales. Los ángulosyson alternos internos, y son iguales (ver el artículo Reconocer los tipos de ángulos.
Los ángulosyÂson iguales, puesto que las líneasxyyACson paralelas. Por lo tanto,.
Igualmente, los ángulosyson iguales. Por consiguiente,.
Sabemos que, dado quees un ángulo llano.
A partir de aquí podemos deducir queen el triángulo.

II. Calculando los ángulosde un triangulo

1. En cualquier triángulo

Ejemplo: queremos calcular el ánguloÂdel triángulo.

Aplicamos la regla:Â+ 114° + 25° = 180°.
A partir de aquí hacemos los cálculos:Â+ 139° = 180°, de dondeÂ= 180° – 139° = 41°.

2. En un triángulo isósceles

Ejemplo: queremos calcular los ángulosydel triángulo isóscelesenC.

Aplicamos la regla:. Comoes un triángulo isósceles enC,sabemos que, por lo tanto,Â+Â+ 48° = 180°; 2Â+ 48° = 180°; 2Â= 180°– 48° = 132°, y.
El ánguloÂ(y el ángulo) mide 66°.

3. En un triángulo rectángulo

La suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 90° (esto es fácil de comprobar porque el tercer ángulo es recto).
El triángulotiene un ángulo recto enA.
Así:Â= 90°. Por lo tanto,, lo cual significa que.
Ejemplo: queremos calcular el ángulodel triángulo, mostrado en la figura 5, el cual tiene un ángulo recto enA.

Aplicamos la regla estudiada anteriormente:. A partir de aquí,y.
El ángulomide 33°.
Nota: los ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles miden cada uno 45°. Esto es así porque se trata de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, uno de sus ángulos es recto (igual a 90º). Como los ángulos de un triángulo deben medir 180º, entonces: 180º – 90º = 90º. Luego la suma de los dos ángulos agudos del triángulo rectángulo isósceles debe ser 90°. Por consiguiente, cada uno de ellos valegrados, esto es: 45°.

4. En un triángulo equilátero

Los tres ángulos de un triángulo equilátero miden cada uno 60°.
Los ángulos son iguales porque el triángulo es equilátero, y como su suma es 180°,cada uno midegrados, esto es: 60°.

Ángulos

Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos

Circunferencia y circulo

Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia

Cuerpos de Revolución

Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera

Geometría en el espacio

Teoremas de geometría plana

Geometría plana

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Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz

Movimientos

Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial

Poliedros

Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
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Polígonos

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Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
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Semejanzas

Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
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Trigonometría

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Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo

Vectores

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