Para comprobar que un cuadrilátero es un paralelogramo, simplemente tenemos que demostrar que cumple alguna de las propiedades de los paralelogramos. En cambio, si partimos del hecho de que un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces podemos usar sus propiedades para deducir otros resultados que nos interesen.
I. Propiedades de un paralelogramo
Si un cuadriláteroABCDes un paralelogramo, entonces:
—sus lados opuestos son paralelos:AB||DCyAD||BC;
—sus lados opuestos son de la misma longitud:AB=DCyAD=BC;
—el punto medio de cada una de sus diagonales coincide con el punto donde se cruzan (el centro de simetría del paralelogramo);
—sus ángulos opuestos son iguales:
y
;
—dos ángulos consecutivos son suplementarios: por ejemplo,
.
II. Usar las propiedades de un paralelogramo
1. El centro de simetría
Enunciado:ABCDes un paralelogramo.Oes el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo
. Queremos construir la circunferencia circunscrita al triángulo
.
Solución: podríamos, por supuesto, dibujar las mediatrices del triángulo
, pero hay un método más sencillo.
—ABCDes un paralelogramo, por tantoI, el punto donde se cruzan sus diagonales, es el centro de simetría.
—UsandoIcomo centro de simetría, podemos comprobar queAes el reflejo deC,Bel reflejo deD, yDel reflejo deB. La circunferencia circunscrita a
es el reflejo de la circunscrita a
.
—Podemos construir el puntoO‘ de forma sencilla, ya que es el reflejo deOrespecto del centro de simetríaI, y entonces ya podemos dibujar la circunferencia usandoO‘ como centro, la cual deberá pasar por el vérticeC.
2. La longitud de los lados opuestos
Enunciado:ABCDyABECson paralelogramos. Queremos comprobar queCes el centro deDE.
Solución:
—Los puntosABCDforman un paralelogramo, por lo tanto, las rectasAByCDson paralelas y de la misma longitud.
—Asimismo, los puntosABECforman un paralelogramo, por tanto, las rectasAByECson paralelas y de igual longitud.
—Las dos rectasCDyECson paralelas a la rectaAB; por eso son paralelas entre ellas. Además, tienen un punto en común,C; por tanto son continuación una de la otra. Todo esto nos viene a decir que los puntosD,CyEforman parte de la misma recta (1).
—TambiénAB=DC=CE(2).
—Puesto que los puntosDyEno son los mismos, (1) y (2) podemos afirmar queCes el centro deDE.
3. Ángulos
Enunciado:ABCDes un paralelogramo. La amplitud del ángulo
es el triple que la de
.
Queremos encontrar la amplitud de los ángulos deABCD.
Solución:
—El enunciado del problema afirma que
(1).
—Además,ABCDes un paralelogramo, por lo tanto los ángulos
y
son suplementarios.
—De tal manera que
(2).
—Teniendo (1) y (2):
; esto es
. Así que
.
—Esto significa que
y
.
—Y como los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, tenemos que:
y
.
Ángulos
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