Si necesitamos completar una igualdad como 3 + … = 5, escribiendo el valor que falta en el “hueco”, escribiremos un 2, quedando: 3 + 2 = 5. La misma cuestión se puede plantear de otra forma: necesitamos hallar un númeroxtal que 3 +x= 5. Podemos decir que 3 +x= 5 es una ecuación.
¿Cómo resolvemos ecuaciones del tipoa+x=b, por ejemplo 3 +x= 5, o ecuaciones del tipoax=b, por ejemplo, 2x= 8?
I. El lenguaje de las ecuaciones
3 +x= 5 es una ecuación con unaincógnita,x. Podemos usar cualquier letra para la incógnita, aunque se suelen utilizar lax, lay, lazy lat.
Resolveruna ecuación, por ejemplo 3 +x= 5, es hallar un número que podemos escribir en lugar de laxpara obtener una igualdad. En el ejemplo anterior, 2 es el número que nos permite obtener una igualdad (3 + 2 = 5); a este número se le llamasoluciónde la ecuación.
Nota:las ecuaciones que estudiamos en este tema tienen una única solución. Sin embargo, hay ecuaciones que tienen varias soluciones y ecuaciones que no tienen ninguna solución.
Por ejemplo:
—la ecuaciónx=xtiene un número infinito de soluciones: podemos sustituir laxpor cualquier número;
—la ecuación 0x= 1 no tiene solución.
II. Resolver ecuaciones del tipoa+x=b
1. Regla
Podemos sumar o restar el mismo número a los dos miembros de una ecuación: obtenemos una nueva ecuación que tiene las mismas soluciones.
2. Ejemplos
Ejemplo 1:queremos resolver la ecuación: 5,4 +x= 2.
Restamos 5,4 a ambos lados de la ecuación: 5,4 +x– 5,4 = 2 – 5,4.
Se puede cambiar el orden de los términos de una suma: 5,4 –5,4 +x= 2 –5,4.
Puesto que 5,4 –5,4 = 0, obtenemos:x= 2 –5,4.
Y finalmente:x= -3,4.
El número -3,4 es la solución de la ecuación 5,4 +x= 2.
Comprobemos que se cumple la igualdad: como 5,4 + (-3,4) = 5,4 – 3,4 = 2, tenemos pues que 5,4 + (-3,4) = 2.
Ejemplo 2:queremos resolver la ecuación:
.
Primero sumamos
a los dos miembros de la ecuación, y a continuación efectuamos los cálculos:
.
Reducimos
y
a común denominador, y queda:
, de donde
.
La ecuación
tiene al número
por solución.
Comprobemos que se cumple la igualdad: como
, tenemos pues que
.
III. Resolver ecuaciones del tipoax=b
1. Regla
Podemos multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por el mismo número: obtenemos una nueva ecuación que tiene las mismas soluciones.
2. Ejemplos
Ejemplo 1:queremos resolver la ecuación: 3x= 7.
Dividimos entre 3 los dos miembros de la ecuación:
.
Puesto que
, la ecuación anterior se puede escribir así:
.
Así pues,
es la solución de la ecuación 3x= 7.
Comprobemos que se cumple la igualdad: como
, tenemos pues que
.
Ejemplo 2: queremos resolver la ecuación:
.
Multiplicamos por
los dos miembros de la ecuación:
.
Puesto que
, la ecuación anterior se puede escribir así:
, es decir,
.
La ecuación
tiene entonces por solución:
.
Comprobemos que se cumple la igualdad: como
, tenemos pues que
.
Las ecuaciones de primer grado son ecuaciones que tienen una variable con un grado de 1. Se pueden resolver usando la regla de los signos:
- Aislar la variable a un lado de la ecuación.
- Multiplicar o dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de la variable.
- Simplificar ambos lados de la ecuación.
- Resolver la ecuación para la variable.
Aquí hay algunos ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado usando la regla de los signos:
- Resolver la ecuación x + 2 = 5:
- Aislar la variable x:
x + 2 – 2 = 5 – 2
x = 3
- Resolver la ecuación 2x – 3 = 4:
- Multiplicar ambos lados de la ecuación por el coeficiente de la variable x:
2x * 1/2 – 3 * 1/2 = 4 * 1/2
x – 3/2 = 2/2
x = 5/2
- Resolver la ecuación x/2 + 1 = 3:
- Multiplicar ambos lados de la ecuación por el denominador de la fracción:
x/2 * 2 + 1 * 2 = 3 * 2
x + 2 = 6
x = 4
- Ecuaciones del tipo a+x = b
Para resolver ecuaciones del tipo a+x = b, puedes seguir estos pasos:
- Resta a de ambos lados de la ecuación.
- Simplifica ambos lados de la ecuación.
- Resuelve la ecuación para la variable x.
Por ejemplo, para resolver la ecuación a+x = b, puedes seguir estos pasos:
- Resta a de ambos lados de la ecuación:
a+x – a = b – a
x = b – a
- Simplifica ambos lados de la ecuación:
x = b – a
- Resuelve la ecuación para la variable x:
x = b – a
- Ecuaciones del tipo ax = b
Para resolver ecuaciones del tipo ax = b, puedes seguir estos pasos:
- Divide ambos lados de la ecuación por a.
- Simplifica ambos lados de la ecuación.
- Resuelve la ecuación para la variable x.
Por ejemplo, para resolver la ecuación ax = b, puedes seguir estos pasos:
- Divide ambos lados de la ecuación por a:
ax / a = b / a
x = b / a
- Simplifica ambos lados de la ecuación:
x = b / a
- Resuelve la ecuación para la variable x:
x = b / a
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Resolviendo Ecuaciones de Primer Grado
Las ecuaciones de primer grado, también conocidas como ecuaciones lineales, son ecuaciones algebraicas que involucran una variable elevada a la primera potencia, y se expresan en la forma ax + b = 0, donde “a” y “b” son coeficientes conocidos y “x” es la variable desconocida que buscamos resolver.
Resolver una ecuación de primer grado implica encontrar el valor de “x” que satisface la igualdad. Aquí tienes los pasos a seguir para resolver este tipo de ecuaciones:
- Agrupar términos: Si la ecuación contiene términos con “x” en ambos lados del signo igual, debes mover todos los términos que contienen “x” hacia un lado y los términos numéricos hacia el otro lado. De esta manera, obtendrás una ecuación en la forma “ax + b = 0”.
- Simplificar: Si es posible, simplifica la ecuación combinando términos semejantes en ambos lados.
- Eliminar el coeficiente: Si el término “a” tiene un coeficiente diferente de 1, divide toda la ecuación por “a” para eliminar este coeficiente y dejar “x” solo en un lado.
- Resolver para x: Después de eliminar el coeficiente, te quedará una ecuación de la forma “x + c = 0”, donde “c” representa un número constante. Ahora, para encontrar el valor de “x”, simplemente resta “c” de ambos lados de la ecuación.
- Obtener el resultado: La solución será un número real que representa el valor de “x” que hace que la ecuación sea verdadera. Si la ecuación no tiene solución, entonces se considera “inconsistente”.
Ejemplo: Resolvamos la ecuación 3x – 12 = 6.
- Agrupamos términos: 3x – 12 – 6 = 0 3x – 18 = 0
- Simplificamos: No hay términos semejantes para combinar.
- Eliminamos el coeficiente: Dividimos toda la ecuación por 3: (3x)/3 – 18/3 = 0 x – 6 = 0
- Resolvemos para x: Sumamos 6 a ambos lados de la ecuación: x = 6
- Resultado: La solución de la ecuación es x = 6.
