Cálculos vectoriales y sus coordenadas

Utilizando números reales, podemos asociar a cada par de valores (x,y) un punto del plano en un sistema de referenciaOxy.
Recíprocamente, para cada punto del plano podemos hallar los dos valoresxey, que son sus coordenadas en el sistema de referencia elegido.
Definiendo un sistema de referencia podemos calcular las coordenadas de un vector y efectuar diferentes tipos de análisis vectorial para resolver problemas de geometría.

I. ¿Cómo situamos un punto en un plano?
Para definir un sistema de referencia es necesario conocer las coordenadas de tres puntos que no estén alineados. En general, hablamos del sistema de referenciaOxy, dondeOes el origen, la rectaOxes el eje horizontal y la rectaOyes el otro eje.
Usando un sistema de referencia, asociamos a cada punto del plano un par de números reales trazando rectas paralelas a los ejes que se crucen en dicho punto.

Por ejemplo, hallemos las coordenadas del puntoAde la figura anterior.
Al punto donde se cruzanOxy la recta paralela aOyque pasa porAlo llamamosAx, y al punto en queOyy la recta paralela aOxque pasa porAse cruzan, lo llamamosAy.
Para hallar las coordenadas deA:
—para la coordenadaxdeA, tomamos el valor del puntoAxrepresentado sobre el ejeOxcon origen enO;
—para la coordenadaydeA, tomamos el valor del puntoAyrepresentado sobre el ejeOycon origen enO,
En este caso, las coordenadas del puntoAson (3, 2).
Notas:
—Si los ejes son perpendiculares se trata de un sistema de referenciaortogonal.
—Si los ejes son perpendiculares y si las unidades elegidas sobre ambos ejes miden igual, entoncesOxyes un sistema de referencia ortonormal o planoxy.

II. ¿Cómo definimos un vector? ¿Cuándo son iguales dos vectores?
Dado un planoxyen el que se ha definido una unidad de longitud, un vectorse caracteriza:
—por la dirección de la rectaAB;
—por su sentido: deAhaciaB;
—y por su longitud o módulo: la distanciad(A, B).
El vectores igual al vectorsi los dos vectores tienen:
—la misma dirección, es decir, la rectaABes paralela a la rectaCD;
—el mismo sentido, lo que significa que los puntosByDestán en los extremos de la rectaAC;
—la misma longitud, lo que significa qued(A, B) =d(C, D).
Dicho de otra formasi y solo siABDCes un paralelogramo.
Por tanto:
si y solo si la imagen del puntoCpor la traslación deAaBesD.
si y solo si los segmentosADyBCtienen el mismo punto medio.

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III. Operaciones con vectores
La suma de dos vectores es otro vector que puede construirse de dos maneras:
—usando la regla del polígono a partir de un puntoA:;

—usando la regla del paralelogramo:.

Nota:la regla del polígono también se usa para descomponer un vector en suma de vectores. SiAyBson dos puntos dados, para cualquier puntoC, tenemos:.
Producto de un vector por un número real.
Seaun vector distinto de cero ykun número real también distinto de cero, el vectorse define así:
—tiene la misma dirección que;
—tiene el mismo sentido quesikes positivo, y sentido opuesto sikes negativo. Sik= -1, entonces, que resulta ser el vector opuesto a.
Vectores colineales son aquellos que tienen la misma dirección. Los vectoresyson colineales si y solo si hay un número realktal que.

IV. ¿Cuál es la base del análisis vectorial?
En un sistema de coordenadas cartesianasOxy, a cualquier vectorse le asocia un único puntoMtal que. El puntoMes la imagen del origenOmediante una traslación de vector.
Por definición, las componentes deson las deM. SiMtiene de coordenadas, el vectortiene las componentes, lo cual se expresa así:. Por ejemplo, en la gráfica siguiente,.

Se deduce que dos vectoresyson iguales si y solo si tienen las mismas coordenadas:y.
Es fácil deducir las componentes de cualquier vectorconocidas las coordenadas de los puntosAyB. En un sistema de coordenadas cartesianas, siAtiene de coordenadasyBtiene de coordenadas, entonces las del vectorserán.
Siyson dos vectores de coordenadasy, entonces:
—la suma de los dos vectoresyes el vectorde coordenadas;
—el producto del vectorpor un número realkes el vectorde coordenadas.
Sean dos vectores de coordenadasy.
Siyson colineales se cumplen las dos ecuaciones siguientes:
si y solo siy.
Una forma más sencilla de expresar esta propiedad es la regla de la multiplicación en cruz:
yson colineales si y solo si.
Por ejemplo, los vectoresyson colineales porque.
SiAyBson dos puntos cuyas coordenadas sony, respectivamente, el módulo del vectores igual a:
.
Recuerda
—Un sistema de referencia queda definido por tres puntos no alineados. En dicho sistema, a cada punto del plano le asociamos dos números reales, sus coordenadas, dibujando rectas paralelas a los ejes que pasen por dicho punto.
—En un sistema de referencia en el que se ha definido la unidad sobre cada eje, un vectorse caracteriza por tres propiedades: su dirección, su sentido y su módulo o longitud.
—La suma de dos vectoresyes el vectorde coordenadas. El producto del vectorpor un número realkes el vectorde coordenadas.
—Los vectoresyson colineales si y solo si.