5.1 FUNCIONES CIRCULARES
5.1.1 Objetivos
Utilizar la circunferencia unitaria (de radio = 1) para definir de forma correcta las funcionescirculares.
Diferenciar en un plano cartesiano los signos de cada uno de los cuadrantes y ubicar las funciones circulares en ellos con sus respectivos signos.
Afianzar los conocimientos relacionados con las equivalencias de los sistemas de medidas angulares.
5.1.2 Conceptos generales
5.1.2.1 Ángulo:
Un ángulo es la abertura comprendida entre dos segmentos, uno llamado lado inicial y el otro lado terminal y que tienen un punto en común llamado vértice.
En el estudio de las funciones circulares el ángulo se considera en un sistema decoordenadas y se define en términos de un giro, es decir, de una rotación.
5.1.2.2 Medición de ángulos:
Para el estudio de las funciones circulares, un ángulo además de medirse en los sistemassexagesimal y centesimal se mide en el sistema de medida circular.
5.1.2.3 Sistema sexagesimal:
La rotación total de una circunferencia corresponde a un ángulo de 360°. La unidad básicapara la medición de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado, que se define como
parte de la rotación total. Se tiene que 1° = 60´ y 1´= 60″
5.1.2.4 Sistema centesimal:
La unidad básica es el grado centesimal que se define como
parte de un ángulo recto,éste a su vez se divide en 100´ y cada minuto en 100″.
5.1.2.5 Sistema circular:
La unidad básica de este sistema de medida es el radián. Sistema del que nos ocuparemos después.
Constante para un ángulo fijo. Este valor de k viene dado en radianes. Lo anterior se puedeenunciar de la siguiente manera: un ángulo mide un radián cuando la longitud del arco (s) es igual al radio de la circunferencia que se describe. De los anteriores conceptos se puede definir radián como la medida del ángulo de vértice en el centro de la circunferencia de longitud igual al radio de la misma.
5.1.2.6 Equivalencias entre los sistemas sexagesimal y circular
Si el radio de la circunferencia es igual a 1, el ángulo Br se hace igual al arco s.
5.2 FUNCIÓN COORDENADA
Se ha visto por definición que la circunferencia unitaria tiene de radio 1 y centro el origen del sistema de coordenadas (0, 0) y viene dada por la fórmula:
De lo anterior nos podemos dar cuenta que a cada punto de la circunferencia unitaria se le puede asignar un número real. Y nos sugiere también que debe existir una función quecumpla el mismo propósito. Esta función es la que recibe el nombre de función coordenada,y se denota por la letra P.
Como sabemos el punto (x, y) que corresponde a un ángulo de 60°, como vimos al comienzodel problema está en el primer cuadrante del sistema de coordenadas, es decir donde x > 0 ,y y > 0, entonces de las dos respuestas se toma x = ½ .
5.3 IDENTIDADES
5.4 USO DE LA CALCULADORA
Es de gran importancia utilizar la calculadora para hallar valores de funciones circulares que desarrolladas por los métodos vistos sería algo difícil.
Hallar el valor de Sen 0,32.
Se debe trabajar con la calculadora en la función radianes (RAD). Se ubica en la pantalla de la calculadora el número 0,32 y se presiona la tecla SEN obteniendo el resultado en lapantalla de la calculadora 0,31456656 que aproximando será 0,3146.
Hallar el valor de Sec. 1,37
Se procede de la siguiente manera:
Se digita en la pantalla de la calculadora 1,37 presionamos la tecla Cos. Resultando elnúmero 0,1994497 y seguidamente la tecla 1/x resultando finalmente el número buscado5,0137949.
Hallar el valor de seno PI/4.
El valor de PI/4 corresponde a 3,1416/4 = 0,7854. Luego se digita el número 0,7854 y se oprime la tecla SEN = 0,7071
5.5 GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES CIRCULARES
El procedimiento para realizar las gráficas de las funciones circulares es similar alprocedimiento utilizado para trazar la gráfica de cualquier función, es decir, se tabulan varios puntos en una tabla de valores y se localizan en el plano cartesiano, luego se unen dichos puntos para generar la gráfica correspondiente. Se debe tener en cuenta que el período de las funciones circulares es de 2pi, lo que quiere decir que los valores se repiten cada 2pi unidades. La gráfica de cada una de las funciones circulares corresponde a los valores del ángulo a entre 0 y 2pi. Si se quiere realizar la gráfica completa correspondiente, basta repetir el período anterior.
La gráfica está comprendida en el intervalo:
y como se puede observar la función seno toma valores máximos hasta 1, y valores mínimos hasta -1.
Se elabora de forma similar a la anterior, teniendo en cuenta que los valores del ángulo aoscilan entre 0 y 2pi. Para la función coseno también se puede observar que la función toma valores máximos hasta 1, y valores mínimos hasta -1.
5.6 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS NOTABLES
Se sabe por definición que los ángulos internos de cualquier triángulo suman 180°. Si a un cuadrado se le traza una diagonal, genera dos triángulos rectángulos, con un ángulo de 90° y dos más de 45°. Ahora, si se trata de un triángulo equilátero donde sus tres ángulos son iguales (60° cada uno), y se divide en dos partes trazando una de las alturas del triángulo, genera dos triángulos rectángulos, donde cada uno de los triángulos tiene un ángulo de 90°, uno de 60° y el otro de 30°. A los ángulos de
30°, 45° y 60° son los que llamamos ángulos notables.
5.6.1 Funciones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°
Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, tomaremos como base un triángulo equilátero.
Observemos que al dividir el triángulo equilátero en dos partes, resultan dos triángulosrectángulos.
Tomemos uno de ellos:
Para hallar las funciones trigonométricas de los ángulos de 30° y 60°, se hace necesarioencontrar el valor de la altura del triángulo. Este valor se halla por medio del teorema de
Pitágoras:
Teniendo los datos del triángulo completos, se hallan las funciones trigonométricas paracada uno de los ángulos:
De igual manera se procede para el ángulo de 30°, y se tendrá:
De lo anterior se puede establecer una serie de relaciones entre los dos ángulos:
Seno 60° = Coseno 30°
Coseno 60° = Seno 30°
Tangente 60° = Cotangente 30°
Secante 60° = Cosecante 30°
Cosecante 60° = Secante 30°
5.6.2 Funciones trigonométricas para el ángulo de 45°
Para encontrar las funciones trigonométricas del ángulo de 45°, se utiliza un cuadrado como referencia:
Si al cuadrado de la figura se le traza una diagonal, el cuadrado queda dividido en dostriángulos rectángulos, donde se conocen los valores de los catetos (L), y se desconoce el valor de la hipotenusa (x). Este valor al igual que en el caso anterior, se halla por medio del teorema de Pitágoras:
Con el anterior valor se completan los datos de la figura:
De esta manera hallamos las funciones trigonométricas para el ángulo de 45°.
Resumiendo en un cuadro general todas las funciones trigonométricas para los ángulos de 30°, 45° y 60°, se tiene:
5.7 APLICACIONES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
La solución de problemas en los que los términos o datos son longitudes y ángulos, se desarrolla utilizando las funciones trigonométricas. La mayor aplicación va dirigida a la resolución de triángulos rectángulos u oblicuángulos. Para los primeros se utilizará conceptos ya definidos, y para los segundos anexaremos a los ya estudiados, otros teoremas que son de gran importancia.
5.7.1 Resolución de triángulos rectángulos
Por geometría se sabe que todo triángulo posee tres lados y tres ángulos, y para efectos de la resolución de triángulos, se puede decir que éste se encuentra resuelto cuando seencuentran los valores de los seis términos.
Resolver los triángulos rectángulos:
Construimos la figura con los datos del problema:
Los términos conocidos y desconocidos del triángulo son:
Se sabe por geometría que los ángulos internos de todo triángulo suman 180°, luegoentonces por diferencia se halla el valor del ángulo que falta:
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa vale 25 unidades y un cateto es 5 unidades mayorque el otro. Hallar las funciones trigonométricas: Sen, Cos y Tg, del ángulo opuesto al catetomenor. Igualmente se realiza la gráfica del problema.
Se halla primero el valor del lado c, mediante el teorema de Pitágoras:
Ahora la figura queda:
5.7.2 Resolución de triángulos oblicuángulos
Para la solución de triángulos oblicuángulos, se hace necesario desarrollar algunos teoremas particulares de los cuales nos ocuparemos ahora:
Teorema del seno
Antes de entrar a demostrar el teorema del seno, es preciso recordar dos de laspropiedades aplicables a todos los triángulos:
La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a 180°.
En todo triángulo el lado mayor se opone al ángulo mayor y viceversa.
El teorema del seno expresa que en todo triángulo las longitudes de los lados sonproporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.
Veamos:
Ahora, si al mismo triángulo le trazamos otra de sus alturas, desde el vértice A, haciéndola caer perpendicularmente sobre el lado BC, igualmente el triángulo queda dividido en dos triángulos rectángulos como en el caso anterior. Si a estos triángulos AEB y AEC, les calculamos el valor de Sen C, y Sen B, respectivamente, se tiene:
Teorema del coseno
El teorema del coseno nos plantea que para todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el doble producto de ellas por el coseno del ángulo que forman dichos lados.
Para demostrar este enunciado, tomemos el siguiente triángulo:
Si en el triángulo oblicuángulo (todos sus ángulos interiores son agudos) trazamos la altura hsobre la base AB, observamos que se forman dos triángulos rectángulos:
ADC y BDC. Aplicando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos mencionados, se tiene que:
Dos personas A y B, se encuentran a una distancia de 200 metros una de la otra.
Cuando un avión pasa por el plano vertical de las mencionadas personas, éstas lo ven simultáneamente con ángulos de elevación de 40° y 53°, respectivamente.
Calcula la altura del avión en ese momento.
En el triángulo ADC, se tiene que:
Completando el valor de los ángulos que hacen falta, se tiene:
Con los datos del problema, aplicamos el teorema del seno para hallar el valor
del lado a:
Con el valor del lado a, se puede hallar el valor de h, relacionándolo por medio
de Sen B:
Un topógrafo situado en un punto C, sitúa dos puntos A y B en los lados opuestos de un lago. Si el punto C está a 10 Km de A y a 15 Km de B y además el ángulo C mide 40°. Calcula el ancho del lago.
Calcular el ancho del lago es calcular la longitud del lado c de la gráfica. Luego:
Los años de Miguelito
Mi primo Miguelito, el otro día cumplió años, al preguntarle cuántos cumplió… responde así: Toma tres veces los años que tendré dentro de tres años, restales tres veces los años que tenía hace tres años y a lo que te dé, le sumas 12 y resultarán los años que tengo.
Solución
Por medio del álgebra, designamos z al número de años buscado:
( 3 ( z + 3 ) – 3 ( z – 3 ) ) + 12 = z
Despejando resulta:
z = 30 años.
Comprobación:
Dentro de 3 años tendrá 33; hace 3 tenía 27.
