Construir la imagen de un punto por una traslación

Si duplicamos una figura haciéndola deslizar a lo largo de una rectad, se dice que la figura así obtenida es la imagen de la figura inicial mediante una traslación.
¿Cómo definir esta transformación en el plano?
I. ¿Qué es una traslación?
Una traslación queda definida por un punto y su imagen.
1. Definición
SeanAyBdos puntos distintos de un plano, yMotro punto diferente del mismo plano. La imagen del puntoMpor la traslación que transforma el puntoAen el puntoBes el puntoM’tal queABM’Mes un paralelogramo (que quedará reducido a una recta si los puntosA,B, yMestán alineados).

Según la figura 1,Mtiene como imagen aM’yNtiene como imagen aN’. La flecha muestra queAtiene aBpor imagen.
Nota: se debe tener cuidado con el orden de las letras (ABM’Mes un paralelogramo peroABMM’no).
2. Propiedades
SiM’es la imagen deMpor la traslación que transformaAenB, entonces:
—MM’=AB;
—las rectasAByMM’son paralelas;
—las semirrectas [AB) y [MM’) tienen la misma dirección;
—los segmentosBMyAM’tienen el mismo punto central.
II. Construir la imagen de un punto utilizando regla y compás
Sea una traslación definida por un puntoAy su imagenB (A ≠ B). Queremos construir la imagen del puntoM.
1. Si el punto M no pertenece a la rectaAB
Sea un puntoMque no pertenece a la rectaAB. Vamos a construir la imagenM’deMpor esta traslación.
El problema es hallar un puntoM’tal queABM’Msea un paralelogramo. Para obtenerM’con regla y compás, procedemos de la siguiente forma:
—Pinchamos con el compás sobre el puntoAy abrimos su otro extremo hasta el puntoB. Sin modificar la abertura del compás, pinchamos sobre el puntoMy trazamos un arco de circunferencia.
—Pinchamos de nuevo el compás sobre el puntoA, pero ahora lo abrimos hasta el puntoM. Sin modificar la abertura, pinchamos sobre el puntoBy trazamos otro arco de circunferencia, que cortará al arco anterior en el puntoM’.
—Trazando los segmentosAM,MM’yBM’tendremos dibujado el paralelogramo. La figura 2 muestra la construcción.

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2. Si el punto M pertenece a la rectaAB
Sea un puntoM perteneciente a la rectaAB. Vamos a construir la imagenM’deMpor esta traslación.
El puntoM’es un punto de la rectaABtal que las longitudesAByMM’son iguales, y las semirrectas [AB) y [MM’) tienen la misma dirección.
Para obtener la imagenM’ pinchamos el compás sobre el puntoAy abrimos su otro extremo hasta el puntoB. Sin modificar la abertura, pinchamos el compás sobre el puntoMy trazamos un arco de circunferencia, que cortará a la recta en el puntoM’. La figura 3 muestra las fases de esta construcción.