Para construir un cilindro dibujamos en un papel un patrón, llamado desarrollo, el cual recortaremos y doblaremos. ¿Cómo podemos construir este desarrollo y cómo podemos calcular la superficie total del cilindro?
I. Construir el desarrollo de un cilindro recto
Queremos construir el desarrollo del cilindro recto mostrado en la figura 1.
Las dos bases del cilindro son círculos, cada uno con un radio de 1,5 cm. El desarrollo de su “cara” lateral es un rectángulo. La altura de este rectángulo es la misma que la del cilindro (3 cm), y su base mide lo mismo que el perímetro de la circunferencia de la base del cilindro.
Para calcular este perímetro, usaremos la fórmulaP= 2 ×
×r, dondeP,
yrson respectivamente el perímetro, el número pi (aproximadamente 3,14) y la longitud del radio.
Tenemos queP= 2 × 3,14 × 1,5 = 9,42. Por lo tanto, el perímetro de la circunferencia (la base del rectángulo) mide aproximadamente 9,4 cm.
Las figuras 2 y 3 muestran el desarrollo del cilindro y cómo doblarlo.
Nota: un cilindro recto puede tener varios desarrollos. La figura 4 muestra otro posible desarrollo para el cilindro de la figura 2.
II. Calcular el área total de un cilindro recto
El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro recto es un rectángulo. Por lo tanto, la superficie lateral del cilindro es igual al área de esta superficie rectangular. Las bases del cilindro son dos círculos y, por tanto, el área de las bases será el área de estos dos círculos. El área total del cilindro será la suma de estas superficies.
1. Ejemplo
Tomemos como ejemplo el cilindro de la figura 1 y uno de sus desarrollos. El área lateral del cilindro es igual al área del rectángulo (ver artículo Calcular el área y el perímetro de un rectángulo). El rectángulo tiene 3 cm de altura por 3
cm de base (2 ×
× 1,5 = 3
).
Por tanto, su área es 3 × 3
cm2, es decir, 9
cm2, esto es: aproximadamente 28,27 cm2.
El área de sus bases será el resultado de multiplicar por 2 el área de una de ellas, es decir:A=
r2x 2. Por consiguiente, su área es
x 1,52 x 2 =
x 2,25 x 2 = 4,5
; esto es, aproximadamente 14,13 cm2.
El área total será: área lateral + área de las bases; por tanto, el área total es igual a 28,27 cm2 + 14,13 cm2 = 42,4 cm2.
2. Caso general
El área totalAde un cilindro recto de alturahy radiorviene dada por la fórmula:
AT=AL+AB(AL= área lateral yAB= área de las bases).
DondeAL=P ×h(siendoPel perímetro de la base); por lo tanto,AL= 2 ×
×r×h. Y AB =
r2× 2 (multiplicamos por 2 porque el cilindro tiene dos bases).
Por tanto:
Si sacamos factor común a
, la fórmula quedaría así:
.
Para aplicar estas fórmulas,A,r,hyPdeben expresarse en unidades de medida que se correspondan. Por ejemplo,Aen cm2,ren cm,hen cm yPen cm.
Nota: la fórmulaAL=P ×htambién puede ser utilizada para calcular el área lateral de un prisma recto.
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