Teoremas de geometría plana

El teorema de Pitágoras se aplica a cualquier triángulo rectángulo. El teorema de Tales se aplica a cualquier figura que tenga líneas rectas paralelas cortadas por dos rectas secantes. Para resolver cualquier problema de geometría plana, tenemos que asociarlo con una figura elemental y basarnos en sus propiedades.
I. Propiedades de un triángulo rectángulo
Para hallar las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, usamos el teorema de Pitágoras, que establece que: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Por ejemplo, en el triángulo rectángulocon ángulo recto en el vérticeA:BC2=AB2+AC2.
Recíprocamente, si queremos demostrar que el triánguloes rectángulo con ángulo recto en el vérticeA, comprobamos que se cumple la relación entre sus lados:BC2=AB2+AC2.
Para relacionar los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo, usamos las siguientes fórmulas trigonométricas:

También nos debe resultar familiar la relación.
Una última propiedad que debemos considerar es que para un triángulo rectángulo inscrito en una circunferencia:

el centro de la circunferencia es el punto medio de la hipotenusa. Por tanto, para demostrar que un triángulo es rectángulo, basta con probar que se puede inscribir en una semicircunferencia.
II. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por una secante
En la figura siguiente, las rectasdyd’y la secantesforman:
—pares de ángulos correspondientes, cuyos lados son rectas paralelas, por ejemplo, el par de ángulos de azul;
—pares de ángulos alternos internos, dispuestos entre las dos rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de naranja;
—pares de ángulos alternos externos, dispuestos hacia el exterior de las rectas paralelas alternativamente a ambos lados de la recta secante, por ejemplo, el par de ángulos de verde.

Puesto que las rectasdyd’son paralelas, cada uno de estos pares de ángulos son iguales. Así, los ángulos correspondientes (de azul) tienen la misma amplitud, los ángulos alternos internos (de naranja) tienen la misma amplitudy los alternos externos (de verde) tienen la misma amplitud.
Recíprocamente también se cumple este razonamiento: si los pares de ángulos correspondientes formados por dos rectasdyd’y una secantesson iguales, entonces las rectasdyd’son paralelas.
III. Propiedades de dos rectas paralelas cortadas por dos secantes
En las dos figuras siguientes podemos aplicar el teorema de Tales.

Seandyd’dos secantes que se cortan en el puntoA. SeanByMdos puntos de la rectaddiferentes deA, y seanCyNdos puntos de la rectad’también distintos deA.
Si las rectasBCyMNson paralelas, entonces se cumple que:.
Recíprocamente, si los puntosA,MyBestán alineados en el mismo orden que los puntosA,NyC, y si, entonces las rectasBCyMNson paralelas.
IV. Propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia
En la figura siguiente, los ángulos,yson ángulos inscritos en la circunferencia de centroOya que sus vértices están sobre ella y sus lados la cortan. Los ángulosyforman el arcoABque pasa por el puntoJ, mientras que el ánguloforma el arcoABque pasa por el puntoI. Al ángulose le llama ángulo central.

Recuerda la siguiente propiedad: ángulos inscritos en la misma circunferencia que determinan el mismo arco tienen la misma amplitud, son iguales. En la figura anterior, estos ángulos sony. Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco (en la figura anterior, este es el ángulo). Debemos tener cuidado porque los ángulosyno tienen el mismo tamaño (esos dos ángulos no forman el mismo arcoAB, aunquelos puntos de corte con la circunferencia seanAyB).
Recuerda
—El teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
—Rectas paralelas y una secante forman ángulos correspondientes iguales, y alternos internos y externos también iguales.
—De acuerdo con el teorema de Tales, sidyd’son dos rectas secantes que se cortan enA, siendoByMdos puntos de la rectaddistintos deA, y siendoCyNdos puntos de la rectad’también distintos deA, y si las rectasBCyMNson paralelas, entonces se cumple:.—Ángulos inscritos en la misma circunferencia que forman el mismo arco son iguales. Además de eso, su amplitud es la mitad de la del ángulo central que determina el mismo arco.