Teorema de Pitágoras

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VI a.C. Sin embargo, el teorema de Pitágoras ya era conocido desde mucho antes.
¿Cuál es este famoso teorema y para qué lo podemos usar?

I. El teorema de Pitágoras

1. Enunciado
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Por tanto, la ecuación que describe el teorema de Pitágoras podemos escribirla así:h2=C2+c2.
Nota: en la definición, la palabrahipotenusase refiere a la longitud del lado mayor del triángulo rectángulo (hipotenusa), y la palabracatetoshace referencia a la longitud de los otros dos lados del triángulo.
También podemos definir el teorema de Pitágoras de la siguiente manera:es un triángulo; sies un ángulo recto, entonces se cumple queBC² =AB² +AC². Esta ecuación también describe el teorema de Pitágoras.

Los lados del triángulo rectángulo tienen nombres propios:

2. Aplicaciones
Calcular la longitud de la hipotenusa
Enunciado: el triángulotiene un ángulo recto enG. Las longitudes vienen expresadas en centímetros.GH= 8 yGF= 15.
Vamos a calcular la longitud deFH.

Solución: el triángulotiene un ángulo recto enG.
Usamos el teorema de Pitágoras:FH² =GF² +GH² y sustituimosGFyGHpor sus valores:FH² = 15² + 8²; FH²= 289;FH=. Por lo tanto,FH= 17 cm.
Calcular la longitud de uno de los catetos
Enunciado: el triánguloes un triángulo rectángulo. Las longitudes están en centímetros.RS= 5 yST= 8. ¿Cuál es la longitud del catetoRT?

Solución: el triánguloes un triángulo rectángulo porque tiene un ángulo recto enR. Según el teorema de Pitágoras:h2 =C2 +c2, o bien:ST² =RS² +RT².
Por sustitución: 8² = 5² +RT²; 64 = 25 +RT². Despejamos:RT² = 64 – 25 = 39. Por lo tanto, el cateto.
II. El opuesto del teorema de Pitágoras
1. Enunciado
es un triángulo. Si la longitud de sus lados es tal que se cumple esta igualdad:BC² =AB² +AC², entonces el triánguloes un triángulo rectángulo con el ángulo recto enA.
2. Aplicaciones
Comprobar que un triángulo dado es rectángulo
Enunciado:es un triángulo. Las longitudes vienen dadas en metros.MN= 152,NP= 377 yMP= 345.
¿Es un triángulo rectángulo?

Solución: el lado más largo esNP. Por tanto, comprobaremos mediante el teorema de Pitágoras (h2 =C2 +c2) que se trata de la hipotenusa. Sustituimos los datos en él y comprobamos si la igualdadNP² =MN² +MP² es cierta o no:
¿377² = 152² + 345²?, es decir, ¿es cierto que 142.129 = 23.104 + 119.025?
Efectivamente, 142.129 = 142.129.
Por lo tanto, este triángulo es un triángulo rectángulo con el ángulo recto enM. Ver también el artículo Demostrar que un triángulo es rectángulo.
Comprobar que un triángulo no es rectángulo
Enunciado:es un triángulo. Las longitudes de sus lados son:AB= 11 cm,BC= 13 cm yAC= 17 cm.
¿Se trata de un triángulo rectángulo?

Solución: si observamos la figura 5, este triángulo tiene la apariencia de ser un triángulo rectángulo, pero ¿lo es realmente?
El lado más largo esAC. Por ello, este triángulo solo puede tener el ángulo recto enB. (En un triángulo rectángulo, el lado más largo es la hipotenusa).
Comparamos sus lados usando el teorema de Pitágoras: ¿AC² =AB² +BC²?
17² = 11² + 13²; 289 = 121 + 169; 289290
Por lo tanto,AC²AB² +BC².
En esta ocasión el teorema de Pitágoras (h2 =C2 +c2) no se cumple y, por lo tanto, este triángulo no es un triángulo rectángulo; es decir, el ángulo enBno es recto.
Dado que el ángulo enBes el único ángulo del triángulo que puede ser recto,no es un triángulo rectángulo.

Ángulos

Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
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Circunferencia y circulo

Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
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Cuerpos de Revolución

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Calcular el área y el volumen de una esfera
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Geometría en el espacio

Teoremas de geometría plana

Geometría plana

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Teoremas de geometría plana
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Teoremas de triángulos
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Un triángulo rectángulo
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Geometría plana

Semejanzas

Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos

Trigonometría

Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo

Vectores

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