La figura 1 ilustra una combinación de dos giros de 180° en torno a los centrosOyO’.
¿Qué ocurre si a una figura le aplicamos dos giros sucesivos de 180°? ¿Y cómo podemos relacionar estos giros con una traslación?
I. Equivalencia entre la composición de dos giros y una traslación
SeanOyO‘ dos puntos distintos de un plano. SeanA,ByCtres puntos distintos de dicho plano, que suponemos no están alineados.
Construimos los puntosA’,B’yC’que son, respectivamente, las imágenes deA,ByCpor un giro de 180° en torno al centroO.
A continuación construimos los puntosA”,B”yC”que son, respectivamente, las imágenes deA’,B’yC’por un giro de 180° en torno al centroO’.
Decimos que los puntosA”,B”yC”son las imágenes respectivas deA,ByCpor la composición del giro de 180° de centroOy del giro de 180° de centroO’.
Dibujamos los vectores
,
y
: observemos que son iguales. Esto significa que hay una traslación resultante de los dos giros anteriores que transformaAenA”,BenB”yCenC”.
Por precisar más: podemos dibujar el vector
y comprobar que los vectores
y
tienen la misma dirección y el mismo sentido, y que la longitud del vector
es el doble que la del vector
; podemos pues escribir
.
En resumen: comprobamos queA”,B”yC”son las imágenes respectivas deA,ByCpor la traslación de vector
.
II. Propiedad y demostración
Del resultado que acabamos de obtener en el apartado anterior al aplicar esos dos giros sucesivos, deducimos la siguiente propiedad: la composición de un giro de 180° de centroOy un giro de 180° de centroO’equivale a la traslación de vector
.
Demostración: seanOyO’dos puntos distintos de un plano yAotro punto de dicho plano.
Construimos el puntoA’, que es la imagen deApor un giro de 180° en torno al centroO.
A continuación, construimos el puntoA”, que es la imagen deA’por un giro de 180° en torno al centroO’.
El puntoA”es entonces la imagen del puntoApor la composición del giro de 180° de centroOy del giro de 180° de centroO’.
Por la definición de giro de 180°,Oes el punto medio del segmentoAA’yO’es el punto medio del segmentoA’A”.
Se deduce que el segmentoOO’es un segmento que une los puntos medios de los dos lados del triángulo
.
Aplicando el teorema de Tales, deducimos que los segmentosOO’yAA”son paralelos y, en cuanto a longitudes,
.
Los vectores
y
tienen la misma dirección y el mismo sentido, y además
.
Esto lo podemos traducir, como en el primer apartado, en la igualdad vectorial
.
Esta igualdad vectorial significa queA”es la imagen deApor la traslación de vector
.
Hemos demostrado así que el puntoA”, que es la imagen del puntoApor un giro de 180° de centroOy un giro de 180° de centroO’, es también la imagen deApor una traslación de vector
, que es el resultado al que queríamos llegar.
III. Aplicación
Problema: seanIyJdos puntos distintos yABCDun cuadrilátero plano. Queremos construir la imagen deABCDpor composición de un giro de 180° en torno al centroIy de un giro de 180° en torno al centroJ.
Solución: sabemos que la composición de un giro de 180° en torno al centroIy de un giro de 180° en torno al centroJes la traslación de vector
.
Por tanto, construimos los puntosA’,B’,C’yD’que son las imágenes respectivas deA,B,CyDpor esta traslación.
Los puntosA’,B’,C’yD’están definidos por las igualdades:
Ángulos
Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos
Circunferencia y circulo
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia
Cuerpos de Revolución
Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera
Geometría en el espacio
Geometría plana
Usar una regla y un cartabón
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz
Movimientos
Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial
Poliedros
Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
Calcular el área de un romboide
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo
Calcular el área de un triángulo
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Como construir un paralelogramo o paralelogramas
Usar las propiedades de un paralelogramo
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
Polígonos
Construir diferentes polígonos regulares
Usar una regla y un transportador de ángulos
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
Construir un triángulo
Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
Triángulos semejantes
Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana
Semejanzas
Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos
Trigonometría
Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo
Vectores
Vector de coordenadas
Cálculos vectoriales y sus coordenadas
Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento
Traslación vectorial
Espacios vectoriales ejemplos
Ecuación vectorial y traslación
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
