Tales fue un matemático griego que vivió entre los siglos VI y VII a.C. Cuenta la leyenda que fue a Egipto y midió la altura de la pirámide de Keops. Para conseguirlo utilizó el teorema que hoy lleva su nombre. Actualmente sabemos que esta propiedad era conocida desde la época de los babilonios, pero no fue demostrada hasta más tarde.
I. El teorema de Tales
dyd’son dos rectas secantes que se cruzan en el puntoA.ByMson dos puntos de la rectaddistintos deA, yCyNson dos puntos de la rectad’distintos deA.
Si las rectasBCyMNson paralelas, entonces se cumple que
.
Este teorema puede ser aplicado en dos situaciones diferentes, conocidas como situaciones o casos de Tales.
Primer caso: el puntoMforma parte del segmentoABy el puntoNpertenece al segmentoAC.
Segundo caso: el puntoAforma parte del segmentoMBy el puntoAforma parte del segmentoNC.
Notas:
—en ambos casos se forman dos triángulos,
y
, los cuales tienen en común que sus pares de lados son paralelos;
—podemos observar que en la igualdad
, los lados de un triángulo (en este caso
) aparecen todos en el numerador, y sus lados correspondientes paralelos en el otro triángulo (en este caso
) aparecen todos en el denominador;
—las ecuaciones formadas por estas tres razones indican que uno de los triángulos es una ampliación del otro (a no ser que estas razones fueran igual a 1, en cuyo caso los dos triángulos serían del mismo tamaño).
II. Aplicacionesdel teorema de tales
1. Calcular longitudes
Problema: en la figura 3 los segmentosACyBDson paralelos. Las longitudes vienen expresadas en centímetros yOA= 2,5,OB= 3,OC= 2 yDB= 4,8. Queremos calcular las longitudes deODyAC.
Solución: puesto que los segmentosACyBDson paralelos, podemos aplicar el teorema de Tales.
Tenemos que:
; así que
.
A partir de
obtenemos que
; esto es,OD= 2,4 cm.
A partir de
obtenemos que
; esto es,AC= 4 cm.
2. Construir puntos definidos por las razones dadas entre las longitudes
Problema: tenemos dos puntosAyBy trazamos una rectarque pase por ellos. Queremos dibujar dos puntosIyJen la rectartal que se cumpla:
, todo ello sin usar una regla graduada.
Solución: dibujamos dos rectas paralelasdyd’que corten a la rectarenAyBrespectivamente.
Ahora abrimos el compás tanto como la unidad propuesta en la figura 4 y señalamos endyd´ tantas unidades como nos propone el enunciado: 4 y 7.
Marcamos un puntoEendtal queEA= 4. A continuación, pintamos un puntoFend’, tal como hemos hecho conE, de manera queFB= 7. Si trazamos ahora una recta que pase porEyF, esta cortará a la rectaren el puntoI.
Comprobemos que el puntoIsatisface la ecuación requerida en el enunciado:
. Los segmentosEAyFB, al pertenecer respectivamente a las rectasdyd’, son paralelos, por lo tanto, podemos aplicar el teorema de Tales; de manera que obtenemos:
.
SustituyendoEApor 4 yFBpor 7 en la ecuación
, obtenemos la igualdad que buscábamos:
.
A continuación marcamos el puntoG. Se trata de un punto de la rectad, situado a la misma distancia derque el puntoE, de manera queAG= 4. Ahora trazamos una recta que pase por el puntoFy el puntoG, que cortará a la rectaren un punto que llamaremosJ.
Comprobamos que el puntoJsatisface la ecuación requerida en el enunciado del problema:
. Los segmentosGAyFBpertenecen respectivamente a las rectasdyd’ y, por lo tanto, son paralelos, por lo que podemos aplicar el teorema de Tales; de manera que obtenemos:
.
SustituyendoAGpor 4 yBFpor 7 en la ecuación
, obtenemos la ecuación que deseábamos:
.
Ver también el artículo Aplicar el teorema de Tales (2).
Semejanzas
Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos
