Imagina el siguiente experimento: colocamos tres puntos,A,MyBen una circunferencia y dibujamos el ángulo
. Ahora trazamos un nuevo ángulo
, siendoOel centro de la circunferencia, y entonces medimos el ángulo
. A continuación, cambiamos la posición del puntoM, dejando fijos los puntosAyB. Posiblemente tengamos la impresión de que el tamaño del ángulo
es siempre igual a la mitad del ángulo
. ¿Estaremos en lo cierto?
I. Definiciones
AyBson dos puntos cualesquiera de una circunferencia que tiene el centro en el puntoO. El ángulo
es conocido con el nombre deángulocentralde la circunferencia. A partir de ahora diremos que el ángulo intercepta el arcoAB.
Nota: los puntosAyBde la figura de arriba definen dos ángulos centrales: un ángulo central menor
que intercepta el menor arco que formanAyB, y un ángulo central mayor
que intercepta el arco mayor que formanAyB.
A,ByMson tres puntos distintos de una circunferencia. El ángulo
recibe el nombre deánguloinscrito. También podemos decir que este ángulo intercepta el arcoAB.
II. Propiedades
1. Ángulo inscrito y ángulo central interceptan el mismo arco
Propiedad: la amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la amplitud del ángulo central que intercepta el mismo arco.
Ejemplo: en la figura 3, el ángulo inscrito
y el ángulo central
interceptan el mismo arcoAB; podemos deducir que:
2. Ángulos inscritos que interceptan el mismo arco
Propiedad: dos ángulos inscritos (en la misma circunferencia) que interceptan el mismo arco, tienen el mismo tamaño.
Ejemplo: en la figura 4, los ángulos inscritos
y
interceptan el mismo arcoAB. Deducimos que
.
Podemos demostrar esta última propiedad: para hacerlo llamaremosOal centro de la circunferencia.
El ángulo inscrito
y el ángulo central
interceptan el mismo arco.
Así, usando la propiedad anterior, tenemos que:
.
De la misma forma, el ángulo inscrito
y el ángulo central
interceptan el mismo arcoAB.
Usando la propiedad anterior, tenemos también que:
.
A partir de estas dos igualdades podemos deducir el siguiente resultado:
.
III. Aplicaciones
1. Calcular la amplitud de un ángulo
Problema: consideremos una estrella regular de cinco puntas. Podemos construirla trazando las diagonales que unen los vértices del pentágono regularABCDErepresentado en la figura 5.
Vamos a calcular la amplitud del ángulo
.
Solución: sabemos que los vértices de un pentágono regular se encuentran todos en la misma circunferencia: llamaremosOal centro de esta circunferencia.
Consideremos un ángulo central
y el ángulo inscrito
: ambos interceptan el mismo arcoCD, por tanto, podemos deducir que:
.
El ángulo central de un pentágono regular es igual a
.
Por lo tanto, tenemos que
y, en consecuencia,
, o bien
.
2. Demostración de una propiedad
Vamos a demostrar una propiedad que ya hemos estudiado: un triángulo inscrito en una semicircunferencia, es siempre un triángulo rectángulo.
Tomemos una circunferencia con centro enOy diámetroBC, así como un puntoA,distinto deByC,en la misma. Vamos a demostrar que el triángulo
, inscrito en la semicircunferencia, tiene un ángulo recto enA.
Solución: consideremos el ángulo central
y el inscrito
: ambos interceptan el mismo arcoBC, por ello podemos deducir que
.
El ángulo
es un ángulo llano (180º) ya queBCes el diámetro de la circunferencia con centro enO. Por lo tanto,
.
Podemos deducir que:
. Por lo tanto, el triángulo
tiene un ángulo recto enA. Se trata de un triángulo rectángulo.
Ángulos
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Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
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