Resolver ecuaciones de primer grado - Conceptos y Problemas Matemáticos

2x– 7 = 4 es una ecuación que contiene un número desconocido representado mediante la letrax.

Decimos que 2x– 7 = 4 es una ecuación con una incógnita (lax).

¿Cómo podemos resolver una ecuación con una incógnita? En otras palabras, ¿cómo encontramos los valores de la incógnita para los cuales la ecuación se cumple?

I. Definición
Supongamos los númerosayb, siendoadistinto de cero. Una ecuación de primer grado, o ecuación lineal con una incógnita, es una ecuación que puede escribirse de la formaax=b,dondexes la incógnita.
También podemos decir que una ecuación es unaigualdad de dos expresiones algebraicas,cada una de ellas escrita a los lados del signo igual; por ejemplo:

La expresión que se escribe a la izquierda de la igualdad recibe el nombre de “primer miembrode la ecuación”, y la expresión de la derecha “segundo miembro”.

Los términos que llevanxse denominan “términos en x” y aquellos que no van multiplicando a laxse llamantérminos independientes.

Resolver una ecuación consiste en encontrar un valor para la incógnita que al sustituirlo en la ecuación haga que la igualdad se cumpla. Por ejemplo, el valor –2 es la solución de la ecuación 5x+ 5 = 3x+ 1 porque al sustituirlo en el lugar de lax:
5 · (–2) + 5 = 3 · (–2) + 1, hace que la igualdad sea cierta: –10 + 5 = –6 +1; –5 = –5.

Nota: podemos usar cualquier letra en lugar de lax(las más utilizadas sonx,y,zot).
Ejemplos:
3x= 7 es una ecuación lineal con la incógnita enx.
–2,7t =4,8 es una ecuación lineal con la incógnita ent.
x+ 4 = –3x+ 7 es también una ecuación lineal con la incógnita enx, que además, como hemos visto, puede ser escrita, por simplificación, de la forma 4x =3.
Por otra parte,x² = 3 no es una ecuación lineal, o de primer grado, porque la incógnitaxestá elevada al cuadrado.

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II. Método

Lo primero que tenemos que tener en cuenta es que una ecuación esuna igualdad. Por este motivo, cualquier alteración que realicemos al primer miembro de la ecuación, también debemos hacerla en el segundo miembro. Esto significa que si sumamos, restamos, dividimos o multiplicamos una cantidad al primer miembro, tenemos que hacer lo mismo en el segundo miembro. Así conseguiremos que la igualdad que se expresa en la ecuación siga siendo verdadera. Es decir:
—podemos sumar o restar el mismo número en ambos miembros de la ecuación sin que por ello cambie su solución; así,a + x = bes equivalente a:a + x – a = b – a, y por lo tanto también a:x = b – a;
—si multiplicamos o dividimos cada miembro de la ecuación por un mismo número distinto de cero, la solución de la ecuación no cambia. Así,ax = bes equivalente ay a.
Para resolver una ecuación tan solo tenemos que simplificar las expresiones algebraicas de ambos miembros hasta dejarlas en la formaax=b.

Para conseguirlo vamos a tener en cuenta los siguientes pasos:

1) Si la ecuación tiene paréntesis, hay que eliminarlos aplicando la propiedad distributiva o si es necesario los productos notables. Por ejemplo, en la ecuación, aplicamos la propiedad distributiva en el primer miembro:.

2) Si la ecuación tiene fracciones, reducimos a mínimo común denominador (ver artículo

Reducir fracciones a común denominador), de manera que podamos eliminarlo de ambos

miembros:;;

eliminamos 4 en ambos miembros,, y obtenemos: 12x– 24 = 5x+ 1 –32.

3) Agrupamos términos semejantes. Es decir, conseguimos dejar agrupados en un miembro todos los términos enx, y en el otro miembro todos los términos independientes. Esto podemos hacerlo sumando y restando cantidades a conveniencia en ambos miembros. Si añadimos -5xen ambos miembros:

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12x– 24 – 5x= 5x+ 1 – 32 – 5x; y simplificando, obtenemos: 7x– 24 = 1 – 32. Si ahora añadimos 24, tenemos que: 7x– 24 + 24 = 1 – 32 + 24, y simplificando: 7x= 1 – 32 + 24; 7x= – 7.

Ya tenemos la ecuación 7x= – 7 escrita en la formaax=b. Ahora vamos a dejar a laxsola en el primer miembro. Para conseguirlo, dividimos toda el ecuación entre 7, y nos queda:, que simplificando da:x= – 1

Nota: una ecuación lineal con una incógnita generalmente tiene solo una solución.

III. Ejemplos de resolución de ecuaciones

1. Ejemplo 1
Queremos resolver la ecuación 3x+ 4 = 0.

Primero restamos 4 en ambos miembros de la ecuación y obtenemos:
3x+ 4 – 4 = 0 – 4
3x= – 4

Nota: Después de restar 4 en ambos miembros, la ecuación 3x+ 4 = 0 ha quedado así: 3x= – 4.
Observa el +4 del primer miembro: es como si hubiese “saltado” al otro lado del igual (=) y aparece como -4 en el segundo miembro. Es decir, un término puede “saltar” de un lado a otro de la ecuación cambiando de operación: si suma, pasa restando; si resta, pasa sumando; si divide, pasa multiplicando; si multiplica, pasa dividiendo. De esta manera, podemos mover términos de un lado a otro de la igualdad de una manera mucho más ágil y sencilla.
Si hacemos caso de lo dicho, podemos pasar el 3 que multiplica axal segundo miembro, pero dividiendo. Por lo tanto, como 3x= – 4;;.
es la solución de la ecuación 3x+ 4 = 0.
2. Ejemplo 2
Queremos resolver la ecuación 2x+ 5 = 7.
Agrupamos términos semejantes, pasando el 5 al segundo miembro: 2x= 7 – 5 ; 2x= 2.
Pasamos el 2 que multiplica axal segundo miembro, dividiendo:; por tanto,x= 1.
1 es la solución de la ecuación 2x+ 5 = 7.

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3. Ejemplo 3

Queremos resolver la ecuación 3(x+ 2) = 5 – 4x.
Eliminamos el paréntesis, aplicando la propiedad distributiva: 3x+ 6 = 5 – 4x.
Agrupamos términos semejantes, pasando -4xal primer miembro y +6 al segundo:
3x+ 4x= 5 – 6, y simplificamos: 7x= – 1.
Pasamos el 7 al segundo miembro, dividiendo:;.
es la solución de la ecuación 3(x+ 2) = 5 – 4x.
4. Ejemplo 4
Queremos resolver la ecuación.
Reducimos toda la ecuación a común denominador:y eliminamos los denominadores: 20x+ 24 = 15.
Agrupamos términos semejantes: 20x= 15 – 24, y simplificamos, 20x= – 9.
Despejando lax:;.
es la solución de la ecuación.