Coseno de un ángulo

Sea uno de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Para ese ángulo, cuya amplitud tiene un determinado valor, el cociente o razón entre su cateto contiguo o adyacente y la hipotenusa del triángulo es siempre la misma.A esa razón lallamamos coseno de dicho ángulo.
Pero, ¿qué utilidad tiene el coseno de un ángulo?

I. Coseno de un ángulo agudo
1. Definición
Seaun triángulo rectángulo ysu ángulo recto.es el coseno del ángulo agudo.
Escribimos:(para memorizarlo fácilmente, podemos escribir:, donde “cateto contiguo” significa ‘el lado contiguo o adyacente al ánguloÂy que no es la hipotenusa’).
Nota:el coseno del ánguloÂdepende solamente de la amplitud del ángulo. Para convencerte, analiza la figura siguiente.

es un ángulo agudo.yson, respectivamente, los ángulos rectos de los triángulosy.
Como las líneasCByC’B’son paralelas, podemos aplicar el teorema de Tales, de manera que:.
Si intercambiamosAByAC’, tenemos:.
Se puede ver que la razónno depende de la posición que ocupa el puntoCsobre la semirrectaAy. Por tanto, se puede calcular dicho cociente referido a cualquier triángulo rectánguloque tenga el puntoCsobre la semirrectaAy, el puntoBsobre la semirrectaAxy su ángulo recto sea.
A dicho cociente se le llamacosenodel ángulo agudo.

2. Propiedades
El valor del coseno de un ángulo agudo siempre está comprendido entre 0 y 1 porque la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el mayor de sus tres lados.
Algunos valores particulares del coseno son:

II. Aplicaciones
1. Calcular longitudes
Ejemplo: seaun triángulo rectángulo ysu ángulo recto. Con las longitudes dadas en centímetros,ST= 7 y.
Queremos hallar los valores deRSyRTaproximados a las décimas, es decir, a 0,1 cm.

Solución: en el triángulo,es su ángulo recto, de manera que podemos escribir:

Sustituyendo resulta:

DespejandoSRtenemos:.
Si utilizamos una calculadora científica hemos de:
—asegurarnos de que la calculadora esté en modo grados (degree);
—teclear la secuencia: 735(o esta otra: 735). En la pantalla aparecerá el resultado 5,73…
Redondeando a 0,1 cm, el segmentoSRmide 5,7 cm.
Para hallarRT, podríamos usar el teorema de Pitágoras, pero obtendríamos un valor inexacto, ya que solo disponemos de un valor aproximado deSR.
En vez de eso, vamos a calcular la amplitud del ángulo. Puesto queyson complementarios,.
Por la misma razón que antes, se tendrá que:

De donde.
Aproximando a 0,1 cm, se obtiene que el catetoRTmide 4,0 cm(a veces se deja el 0 para recordar que el resultado se ha aproximado a 0,1 cm).

2. Calcular ángulos
Ejemplo: seaun triángulo rectángulo, con su ángulo recto enGy con las longitudes dadas en centímetros,FG= 8 yFH= 11; queremos hallar cuánto mide el ángulo(aproximando a 0,1°).

Solución: como el triánguloes rectángulo enG, podemos escribir:
Sustituyendo resulta:

Así pues, el problema es hallar cuánto vale un ángulo del que conocemos lo que vale su coseno.
Utilizando una calculadora científica hemos de:
—asegurarnos de que la calculadora esté en modo grados (degree);
—teclear la secuencia: (811)(o esta otra:(811)).
En la pantalla aparecerá el resultado 43,34…
Redondeando a 0,1º, el ángulomide 43,3°.
Notas:
—en algunas calculadoras, la teclaviene reemplazada por esta otra:;
—en otras calculadoras, las teclasy(oy) vienen reemplazadas por una única tecla:.

Ángulos

Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
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Circunferencia y circulo

Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
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Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
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Cuerpos de Revolución

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Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
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Geometría en el espacio

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Geometría plana

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Trigonometría

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Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo

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