Calcular el volumen de una pirámide o de un cono

Se supone que ya sabemos cómo se calcula el volumen de un prisma recto y de un cilindro. La misma fórmulaproporciona el volumen para ambos.
¿Podrá una misma fórmula permitirnos calcular el volumen de una pirámide y de un cono?

I. El volumen de la pirámide

1. Fórmula

Supongamos que tenemos una pirámide de alturahy que la superficie de su base tiene un valorB.
El volumen de la pirámide vendría dado por la fórmula:, o bien:.
DondeV, Byhdeben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo, sihse expresa en cm,Birá en cm2 yVen cm3.
Nota: el volumen de una pirámide es una tercera parte del volumen de un prisma recto que tenga la misma base y la misma altura.

2. Ejemplo
Problema: calcula el volumen de una pirámide regular de base cuadrada cuyo ladoABmide 7 m, y con una aristaASde 8 m.

Solución:
—Antes de poder usar la fórmula, debemos calcular el valor del área de la base (B). Como la base es un cuadrado, el área será:B=l2;B=l×l;B= 7²;B= 49 m2.
—También debemos calcular la alturaSHde la pirámide.

Observa la figura y comprobarás que para hallar la alturaSHdel triángulo,es necesario usar el teorema de Pitágoras:h2=C2+c2, que si lo adaptamos al problema:AS2=SH2+AH2, y despejando tenemos queSH2=AS2–AH2;.
Para hallarSHtan solo necesitamos introducir los datos en la fórmula anterior; el único problema es que aún no conocemos el valor deAH. Veamos:

El triánguloes un triángulo rectángulo isósceles, por lo queAH=HB. Si usamos el teorema de Pitágoras tenemos que:AB2=AH2+AH2;AB2= 2AH2;;
Por lo tanto:

Ahora ya podemos hallarSH:
;
Por fin tenemos los datos necesarios para sustituirlos en la fórmula del volumen de la pirámide: el área de la base (B= 49 m2) y la altura (SH= 6,29 m).
Como, sustituyendo tenemos que:
; y, por tanto:
V= 102,7 m3.

II. El volumen del cono

1. Fórmula

Un cono tiene una alturahy una superficie de su base que llamaremosB.
Su volumen vendrá dado por la fórmula:, o bien:.
DondeV, Byhdeben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo, sihse expresa en cm,Birá en cm2 yVen cm3.
Notas:
—el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga la misma base y altura:

—sires el radio de la base:.
DondeV, ryhdeben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo,hen cm,ren cm yVen cm3.
2. Ejemplos
Problema 1: calcular el volumen de un cono de 7 cm de altura, cuya base circular tiene un radio de 4 cm.
Solución: usando la fórmula,
tenemos:.
El volumen de este cono es aproximadamente de 117 cm3.
Problema 2: tomamos un triángulo rectángulo y lo hacemos rotar en torno a uno de sus catetos, formándose en su revolución la figura de un cono. Dependiendo de cuál sea el cateto que escojamos como eje de rotación, obtendremos uno de los dos conos que aparecen en la figura de abajo. Si sabemos queC= 8 cm yc= 6 cm, ¿cuál de los dos conos tendría mayor volumen?

Solución:el radio de la base del primer cono mide 6 cm y su altura 8 cm.
Su volumen, en cm3, es:.
El radio de la base del segundo cono mide 8 cm y su altura 6 cm.
Su volumen, en cm3, es:.
Por consiguiente, el segundo cono es el que tiene mayor volumen.

Ángulos

Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos

Circunferencia y circulo

Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia

Cuerpos de Revolución

Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera

Geometría en el espacio

Teoremas de geometría plana

Geometría plana

Usar una regla y un cartabón
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Calcula la distancia entre dos puntos
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Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz

Movimientos

Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial

Poliedros

Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
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Polígonos

Construir diferentes polígonos regulares
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Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
Construir un triángulo
Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
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Usar la suma de los ángulos de un triángulo
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Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
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Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana

Semejanzas

Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos

Trigonometría

Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo

Vectores

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