Calcular el área y el volumen de una esfera

Imaginemos que queremos forrar una naranja con papel. ¿Cuáles serían las dimensiones adecuadas de la hoja de papel que debemos emplear? Para resolver este problema necesitamos conocer la superficie de la naranja, que suponemos es esférica. Solo necesitamos un dato para poderla calcular: el radio de la esfera. Basta pues con medir el diámetro de la naranja y dividir el resultado entre dos antes de aplicar la fórmula.

I. El área de una esfera

1. La fórmula
El área de una esfera de radiorviene dada por la fórmula:.

Notas:
—Para aplicar esta fórmula,Ayrdeben estar expresadas en unidades que se correspondan, por ejemplo,Aen cm2 yren cm.
—Esta fórmula contiene a, que ni es un número decimal exacto ni una fracción. En consecuencia, el valor del área de una esfera no será un valor exacto sino que contendrá al número.
2. Ejemplo
Problema: queremos hallar el área de una pelota de ping-pong, sabiendo que su diámetro mide 38 mm. Daremos en primer lugar el valor exacto, y después un valor aproximado a la cifra de las unidades, es decir, redondeado a 1 mm2.
Solución:calculamos primero el radio de la pelota, que es la mitad de su diámetro, es decir, 19 mm ().
Aplicamos ahora la fórmula: 4× 192 = 1.444, de manera que la superficie exacta de la pelota esA= 1.444mm2.
Utilizando una calculadora obtenemos un valor aproximado, que redondeado a 1 mm2 es:A4.536 mm2. Para forrar una pelota de ping-pong hace falta una superficie de papel cuya área sea al menos igual a 50 cm2 (necesitaremos un poco más de papel para poder hacer los pliegues).

II. El volumen de una esfera

1. La fórmula
El volumenVde una esfera de radiorviene dado por la fórmula siguiente:V =r3.
Notas:
—Para aplicar esta fórmula,ryVdeben estar expresados en unidades que se correspondan, por ejemplo,ren cm yVen cm3.
—Al igual que para el área, el resultado exacto del volumen de una esfera contiene a.
2. Ejemplos
Problema 1: queremos hallar cuántos litros de aire caben en un balón de fútbol de radio 11 cm (suponiendo que el balón es perfectamente esférico).
Solución:el valor exacto en cm3 de su volumen es:

Utilizando una calculadora obtenemosV5.575 cm3, lo que equivale aV5,575 litros. (Recuerda: 1 cm3 = 1 ml).
Problema 2: si estimamos que la Tierra es una esfera con un radio aproximado de 6.400 km, podemos calcular su volumen aproximado.
Solución:efectuando la operación×× 6.4003 resulta 1.100.000 millones de km3.

Ángulos

Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos

Circunferencia y circulo

Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia

Cuerpos de Revolución

Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera

Geometría en el espacio

Teoremas de geometría plana

Geometría plana

Usar una regla y un cartabón
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz

Movimientos

Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial

Poliedros

Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
Calcular el área de un romboide
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo
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Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Como construir un paralelogramo o paralelogramas
Usar las propiedades de un paralelogramo
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales

Polígonos

Construir diferentes polígonos regulares
Usar una regla y un transportador de ángulos
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
Construir un triángulo
Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
Triángulos semejantes
Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana

Semejanzas

Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos

Trigonometría

Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo

Vectores

Vector de coordenadas
Cálculos vectoriales y sus coordenadas
Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento
Traslación vectorial
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Ecuación vectorial y traslación
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales