Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales

Definimos los vectores a partir de traslaciones. Ya sabemos que las traslaciones se pueden definir usando paralelogramos. Por tanto, vectores y paralelogramos están relacionados. Pero, ¿cómo es esa relación?

I. Paralelogramos e igualdades vectoriales

1. Caracterizar un paralelogramo usando una igualdad vectorial
SiABDCes un paralelogramo, entonces la traslación que transformaAenBtambién transformaCenD.
Además sabemos que si la traslación que transformaAenBtambién transformaCenD, entonces.
Estas dos propiedades nos permiten enunciar lo siguiente: siABDCes un paralelogramo, entonces.

Recíprocamente, si, entoncesABDCes un paralelogramo.
Nota: el orden de los puntosCyDno es el mismo en el nombre del paralelogramo,ABDC, que en la igualdad vectorial,.
Caso especial: el paralelogramoABDCse puede “aplanar”, lo que sucede cuando los puntosA,B,CyDestán alineados.

En resumen:significa queABDCes un paralelogramo (posiblemente aplanado).

2. Igualdades vectoriales obtenidas a partir de un paralelogramo

Sea un paralelogramoABDC. A partir de él obtenemos la igualdad vectorial.

Pero este paralelogramo también podríamos nombrarlo así:ACDB, de donde obtendríamos la igualdad vectorial.

Si llamamos a este paralelogramoBACD, obtenemos la igualdad vectorial.

Si llamamos a este paralelogramoCABD, obtenemos la igualdad vectorial.

En resumen: un paralelogramo nos permite escribir cuatroigualdades vectoriales.
Consideremos las igualdadesy. Los vectorestienen el mismo módulo y la misma dirección, aunque no el mismo sentido. Los llamamosvectores opuestos.
Cada igualdad de dos vectores nos permite escribir la igualdad de los vectores opuestos.

II. Igualdad vectorial y punto medio

En el apartado anterior hemos visto que si, entoncesABDCes un paralelogramo. Y sabemos que si un cuadriláteroABDCes un paralelogramo, entonces sus diagonalesADyBCtienen el mismo punto medio. A partir de aquí podemos deducir la siguiente propiedad: si, entonces los segmentosADyBCtienen el mismo punto medio.

Recíprocamente, si los segmentosADyBCtienen el mismo punto medio, entoncesABDCes un paralelogramo y.

Ángulos

Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos

Circunferencia y circulo

Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia

Cuerpos de Revolución

Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera

Geometría en el espacio

Teoremas de geometría plana

Geometría plana

Usar una regla y un cartabón
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz

Movimientos

Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial

Poliedros

Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
Calcular el área de un romboide
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo
Calcular el área de un triángulo
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Como construir un paralelogramo o paralelogramas
Usar las propiedades de un paralelogramo
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales

Polígonos

Construir diferentes polígonos regulares
Usar una regla y un transportador de ángulos
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
Construir un triángulo
Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
Triángulos semejantes
Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana

Semejanzas

Teorema de Tales (1)
Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos

Trigonometría

Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo

Vectores

Vector de coordenadas
Cálculos vectoriales y sus coordenadas
Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento
Traslación vectorial
Espacios vectoriales ejemplos
Ecuación vectorial y traslación
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales