Cuando estudiamos los dos teoremas relativos a los puntos medios de los lados de un triángulo, estamos considerando no solo los puntos medios de dos lados del triángulo, sino también la recta que los une.
Estos teoremas nos permitirán demostrar que un punto cualquiera es o no el punto medio de un segmento, o si dos rectas son paralelas o no.
I. La recta que une los puntos medios de los lados de un triángulo
1. Teorema 1
En un triángulo
, la recta que pasa a través de los puntos mediosB‘ enACyC‘ enABes paralela al tercer lado del triángulo (BC). Además, la longitud deB‘C‘ es exactamente la mitad de la longitud deBC.
Nota: la rectaB‘C‘ se denomina recta de los puntos medios del triángulo
.
2. Ejemplo
Enunciado:
es un triángulo.A‘ es el punto medio del ladoBC,B‘ el punto medio deACyC‘ el punto medio deAB. Queremos demostrar que el cuadriláteroAB’A’C’es un paralelogramo.
Demostración: el segmentoA’B’pasa a través de los puntos medios deBCyAC. Por lo tanto, es paralelo al ladoAB. Por la misma razón,A’C’es paralelo al ladoAC. Dado que el cuadriláteroAB’A’C’tiene dos pares de lados paralelos, es un paralelogramo.
3. Una aplicación del teorema 1: un problema de alineamiento
Enunciado:ABCDes un trapecio con basesAByCD. Por otra parte,I,J,KyLson los puntos medios de los segmentosAD,BC,ACyBDrespectivamente. Queremos demostrar que los cuatro puntosI,J,KyLestán alineados.
Demostración: en el triángulo
, el segmentoILune los puntos medios de los ladosADyBD, por lo tanto, el segmentoILes paralelo aAB. Por el mismo motivo, en el triángulo
, el segmentoJLes paralelo aDCy por consiguiente también aAB. Ambos segmentosILyJLson paralelos aAB; y tienen un punto en común:L. A partir de aquí podemos deducir que forman una línea continua. Esto demuestra queI,LyJestán alineados.
Analizando los triángulos
y
con el mismo criterio, podemos también demostrar que los puntosK,IyJestán alineados. En conclusión, los puntosI,J,KyLestán en la misma recta,IJ; por lo tanto, están alineados.
II. La recta que pasa a través del punto medio de un lado y es paralela a uno de los lados del triángulo
1. Teorema 2
En un triángulo
, la recta que pasa a través del punto medioB‘ del ladoACy es paralela al ladoAB, pasa a través del punto medioC‘ del tercer lado,BC. Por supuesto, podemos observar otra vez que:
B’C’= y AB.
2. Ejemplo
Enunciado: en la figura 5, tenemos queAI= AByDes un punto simétrico aB, respecto deC. Trazamos una recta paralela aDIque pase porC, y que cortará aABenJ. Queremos demostrar queJes el punto medio del segmentoIBy queAI=IJ=JB.
Demostración: primero, observamos queIB= AB. Como sabemos queAI= AB, despejando,AB= 3AI. Sustituyendo:
IB= · 3 ·AI.
Por lo tanto,IB= 2AIyCes el punto medio deBD. Imaginemos ahora el triángulo
. La líneaCJpasa por el punto medio del ladoBDy es paralela al ladoDI. El teorema 2 nos permite confirmar que esta línea corta al tercer lado en su punto medio. Por consiguiente,Jes el punto medio del segmentoIBy podemos deducir queIJ=JB= yIB. Puesto queIB= 2AI, sabemos que:AI= yIB=IJ=JB.
Ángulos
Reconocer los tipos de ángulos
Reconocer y trazar la bisectriz de un ángulo
Usar una regla y un cartabón
Usar una regla y un transportador de ángulos
Circunferencia y circulo
Comparar un ángulo inscrito en una circunferencia con el ángulo central asociado
Teoremas de geometría plana
Calcular el área de un círculo
Describir una circunferencia y calcular su perímetro
Trazar una tangente a una circunferencia
Cuerpos de Revolución
Describir un cono y construir su desarrollo
Describir y dibujar un cilindro recto
Construir un cilindro recto y calcular su área total
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir y dibujar una esfera
Calcular el área y el volumen de una esfera
Dibujar la sección de una esfera
Geometría en el espacio
Geometría plana
Usar una regla y un cartabón
Calcular la distancia entre un punto y una recta
Calcula la distancia entre dos puntos
Teoremas de geometría plana
Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales
Reconocer y trazar una mediatriz
Movimientos
Construir la imagen de una figura por un giro
Composición de dos giros
Construir la imagen de un punto por una traslación
Conservación de propiedades en una traslación
Representar traslaciones mediante vectores
Representar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación vectorial
Poliedros
Describir y representar un ortoedro
Construir un ortoedro
Calcular el volumen de un ortoedro
Calcular el volumen de una pirámide o de un cono
Describir una pirámide y construir su desarrollo
Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro
Describir y representar un prisma recto
Construir un prisma recto y calcular su área total
Fórmulas de poliedros
Calcular el área de un romboide
Calcular el área y el perímetro de un rectángulo
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Como construir un paralelogramo o paralelogramas
Usar las propiedades de un paralelogramo
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
Polígonos
Construir diferentes polígonos regulares
Usar una regla y un transportador de ángulos
Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado
Calcular el área de un triángulo
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Reconocer y trazar una mediatriz
Trazar las alturas de un triángulo y determinar su ortocentro
Trazar las medianas de un triángulo y determinar su baricentro
Dibujar las mediatrices de un triángulo y trazar su circunferencia circunscrita
Triángulos semejantes
Usar la suma de los ángulos de un triángulo
Teoremas de triángulos
Calcular un ángulo de un triangulo
Un triángulo rectángulo
Teorema de Pitágoras
Triángulos isósceles y equiláteros
Geometría plana
Semejanzas
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Teorema de Thales de mileto (2)
Congruencia de triángulos
Trigonometría
Coseno de un ángulo
Seno, coseno y tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo
Vectores
Vector de coordenadas
Cálculos vectoriales y sus coordenadas
Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento
Traslación vectorial
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