En el tablero de ajedrez de la figura 1, imagina que el caballo negro, situado en la casilla D3 se desplaza a F4: este desplazamiento puede interpretarse como una traslación de un cierto vector
que transforma D3 en F4.
Pero también podríamos considerar que el punto de llegada (punto central de la casilla F4) es la imagen del punto de salida (punto central de la casilla D3) mediante dos traslaciones sucesivas: una traslación horizontal de dos casillas a la derecha y una traslación vertical de una casilla hacia arriba. Estas dos traslaciones nos permiten decir que las coordenadas o componentes del vector
son 2 y 1.
I. Leer las coordenadas de un vector
1. Componentes de un vector
SeaOxyun sistema de coordenadas cartesianas y
un vector que une dos puntosAyBcualesquiera, también llamado vector
.
Para leer las coordenadas del vector
, podemos descomponer la traslación que transformaAenB, que es la traslación del vector
, en dos traslaciones sucesivas: primero una paralela al eje horizontalOx, y después otra paralela al ejeOy.
Es decir, para trasladarnos deAaB, primero nos desplazamos paralelamente aOx, y después paralelamente aOy.
El desplazamiento paralelo aOxserá laabscisa, coordenadaxo componentexdel vector:
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de lasxcrecientes (a la derecha deO), se considera un valor positivo;
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de lasxdecrecientes (a la izquierda deO), se considera un valor negativo.
El desplazamiento paralelo aOyserá laordenada,coordenadayo componenteydel vector:
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de lasycrecientes (hacia arriba deO), se considera un valor positivo;
—si este desplazamiento se efectúa en la dirección de lasydecrecientes (hacia abajo deO), se considera un valor negativo;
Ejemplo: consideremos la figura 2.
Para ir deAaB, necesitamos desplazarnos 4 unidades paralelamente al ejeOxen la dirección de lasxcrecientes; la abscisa o coordenadaxdel vector es entonces +4. Después necesitamos desplazarnos 2 unidades paralelamente al ejeOyen la dirección de lasydecrecientes; la ordenada o coordenadaydel vector
es entonces – 2.
El vector
tiene pues las coordenadas (4, –2). Lo escribimos así:
(4, -2).
2. Ejemplos
Queremos deducir de la figura 3, las coordenadas de los vectores
,
,
,
,
,
,
y
.
Las coordenadas de estos vectores son:
(-2, -3);
(0, -4);
(-6, 0);
(4, 1);
(0, 2);
(2, -5);
(3, 0);
(-4, 3).
Nota: algunos vectores son paralelos a uno de los ejes de referencia, como por ejemplo el vector
. Este vector corresponde a un desplazamiento de 0 unidades paralelamente al ejeOx(no hay por tanto desplazamiento horizontal) y de 4 unidades paralelamente al ejeOy, en la dirección de lasydecrecientes. Sus coordenadas son entonces (0, –4).
Un caso particular: el vector nulo tiene por coordenadas (0, 0), independientemente de cuál sea el origen de coordenadas, ya que la representación de dicho vector es un punto.
II. Representar un vector de coordenadas dadas
1. Un ejemplo
Representemos un vector de coordenadas (–5, 1) en el sistema de coordenadas cartesianasOxy. Dibujemos un vector
que represente a este vector
.
Para ello escojamos un punto cualquieraA, por ejemploA(1, 2), y situemos el puntoB, que es la imagen deApor una traslación del vector
(-5, 1). Según lo expuesto en el apartado I.1:
—nos desplazamos 5 unidades desdeA,paralelamente al ejeOxen el sentido de lasxdecrecientes (lo que corresponde a la abscisa -5 de
);
—después nos desplazamos 1 unidad paralelamente aOyen el sentido de lasycrecientes (lo que corresponde a la ordenada +1 de
).
Se obtiene el puntoB.
2. Otros ejemplos
Ejemplo 1: queremos representar los siguientes vectores en un sistema de coordenadas cartesianasOxy:
(4, -3);
(0, 2);
(-5, -2);
(4, 6);
(-4, 0).
Ejemplo 2: seaOxyun sistema de coordenadas cartesianas, y
y
dos vectores tales que
(5, 2) y
(-4, 3). Sean los puntosM(–1, –3) yP(2, 1). Queremos situar los puntosRySdefinidos por las igualdades vectoriales
=
y
=
.
Se trata de construir un vector con origen enMque represente al vector
y otro vector con origen enPque represente al vector
. Para ello seguimos el método utilizado en el ejemplo del apartado II.1.
Vectores
Vector de coordenadas
Cálculos vectoriales y sus coordenadas
Coordenadas de un vector y el punto medio de un segmento
Traslación vectorial
Espacios vectoriales ejemplos
Ecuación vectorial y traslación
Relacionar paralelogramos e igualdades vectoriales
