Las coordenadas de un vector
pueden ser interpretadas mediante una traslación en la que escogemos
como representante de este vector. ¿Qué relaciones asocian las coordenadas de
y las deAyB? A partir de estas relaciones, ¿cómo podemos calcular las coordenadas del punto medio de un segmento si conocemos sus extremos?
I. Calcular las coordenadas de un vector
1. La fórmula de cálculo
Sea un sistema de coordenadas cartesianasOxy; si tenemos dos puntosA(xA, yA) yB(xB,yB) cualesquiera, las coordenadas del vector
vienen dadas por la fórmula
(xB–xA,yB–yA).
Ejemplo: Si tenemos los puntosA(2, –4) yB(–3, –1), calcular las coordenadas del vector
.
Aplicando la fórmula, podemos escribir
(-3-2, -1-(-4)), de manera que las coordenadas de
son (-5, 3).
Podemos comprobar estas coordenadas directamente sobre la gráfica restando las coordenadas de los puntosAyB:
2. Aplicación
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianasOxy; dibuja los puntosE(–3, 1),F(3, 5),G(4, 2) yH(–2, –2), y comprueba que el cuadriláteroEFGHes un paralelogramo.
Solución:simplemente hemos de demostrar la siguiente igualdad vectorial:
=
. Para hacerlo, calcularemos las coordenadas de estos dos vectores.
(3-(-3), 5-1), de forma que
(6, 4).
(4-(-2), 2-(-2)), de manera que
(6, 4).
Los vectores
y
tienen las mismas coordenadas.
Aceptamos que dos vectores con las mismas coordenadas son iguales.
Por consiguiente,
=
, de forma que el cuadriláteroEFGHes un paralelogramo.
II. Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento
1. La fórmula de cálculo
A(xA,yA) yB(xB,yB) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianasOxy. Si llamamosMal punto medio del segmentoAB, entonces:
Demostración: siMes el punto medio deAB, entonces
=
. Los vectores
y
tienen la misma dirección, de manera queA,MyBestán alineados. Ambos tienen el mismo sentido y son de la misma longitud, puesto queMA=MB. Por consiguiente, estos dos vectores son iguales.
Llamemos a las coordenadas deM(x, y), y escribamos las coordenadas de los vectores
y
:
(x–xA,y–yA) y
(xB–x,yB–y).
Puesto que los vectores
y
son iguales, podemos escribir que sus coordenadas son iguales. Por lo tanto, hemos encontrado quex–xA = xB–xey–yA = yB–y.
Estas dos ecuaciones son equivalentes a:
2x=xA+xBy 2y=yA+yB, de manera que
e
.
Por consiguiente, tenemos:
.
Ejemplo:U(–3, 2) yT(5, 4) son dos puntos cualesquiera en un sistema de coordenadas cartesianasOxy. Calcular las coordenadas del punto medioHdel segmentoUT.
Aplicando la fórmula anterior, podemos escribir:
, a partir de la cual encontramos queH(1, 3).
Podemos verificar estos cálculos representando los puntos en el sistema de coordenadas.
2. Aplicación
La fórmula para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento nos ofrece una vía alternativa para demostrar que un cuadrilátero es un paralelogramo.
Enunciado: Sea un sistema de coordenadas cartesianasOxy; dibuja los puntosK(–4, –1),L(–2, 3),M(6, 5) yN(4, 1), y demuestra que el cuadriláteroKLMNes un paralelogramo.
Solución: vamos a demostrar que los segmentosKMyLNtienen el mismo punto medio. Para hacerlo, llamaremosPal punto medio deKMyRal punto medio deLNy calcularemos las coordenadas de estos dos puntos:
, por lo tantoP(1, 2).
, por lo tantoR(1, 2).
Como los puntosPyRtienen las mismas coordenadas, son coincidentes. A partir de aquí podemos formular que los segmentosKMyLNtienen el mismo punto medio.
Las diagonales del cuadriláteroKLMNtienen el mismo punto medio, por consiguiente, este cuadrilátero es un paralelogramo.Ver artículoRelacionar paralelogramos e igualdades vectoriales.
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