Escribir el texto de un problema como ecuación (1) - Conceptos y Problemas Matemáticos

La masa total de una botella con su tapón es 110 g. La botella sola pesa 100 g más que el corcho. ¿Cuál es la masa del corcho?
Si respondiéramos sin pensar, diríamos que la masa del corcho es 10 g, lo cual es erróneo. Como la botella pesa 100 g más, esto es 110 g, la masa total de la botella y el corcho debería ser 120 g (110 + 10 = 120). De hecho, la masa del corcho es 5 g y la masa de la botella de 105 g.
¿Cómo usamos una ecuación para resolver un problema y evitar equivocaciones de este tipo?

I. Un problema analítico

1. Enunciado
Un jardinero planta bulbos de tulipanes en un parterre. Un tercio de esos bulbos serán tulipanes rojos, la cuarta parte serán blancos, una sexta parte serán negros y otra sexta parte amarillos. Finalmente, planta 3 bulbos de tulipanes rosas. ¿Cuántos bulbos ha plantado el jardinero?

2. Seleccionar la incógnita
Digamos quexserá el número total de bulbos plantados, siendox, por lo tanto, un número entero positivo (natural).
Nota: elegimos una incógnita e imaginamos que estamos preparados para conocer la respuesta.

3. Escribir un problema como una ecuación
Escribir un problema como una ecuación significa escribir el enunciado literal como una expresión algebraica.
El jardinero plantade los tulipanes rojos, de los tulipanes blancos,de los tulipanes negros,de los tulipanes amarillos y finalmente planta 3 tulipanes de color rosa.
En total, ha plantadoxbulbos de tulipanes.
Podemos expresar el número total de bulbos de una forma diferente, mediante la suma del número de bulbos de cada color. Es decir, han sido plantados, los siguientes bulbos:

Esto nos permite escribir la ecuación:

Es decir, establecemos unaigualdadentre la incógnita (x), o número total de bulbos plantados, y la suma de cada uno de los tipos de bulbo.

Leer más: Reconocer y construir un rectángulo o un cuadrado

4.Resolver la ecuación

Agrupamos todos los términos enxen el primer miembro de laecuación(lo cual significa que los términospasan restando al primer miembro). De manera que la ecuación quedaría así:

Sacamos factor común ax:

Reducimos los términos dentro del paréntesis a común denominador y obtenemos:

Resolvemos el paréntesis:

Como último paso despejamos, pasando el 12 multiplicando al segundo miembro:x= 3 · 12;x= 36.

5. Volviendo al problema: comprobación del resultado

El jardinero planta un total de 36 tulipanes.
En efecto, hay 12 tulipanes rojos, 9 tulipanes blancos, 6 tulipanes negros, 6 tulipanes amarillos, y 3 tulipanes de color rosa.
Por último, comprobamos que la igualdad de la ecuación se cumple: 12 + 9 + 6 + 6 + 3 = 36.

II. Un problema de geometría

1. Enunciado
Queremos excavar en un parque, un estanque rectangular rodeado por un camino de 2 m de ancho. El estanque tiene 8 m de ancho. ¿Cuántos metros de largo deberá tener el estanque para que su área sea igual a la del camino?

2. Seleccionar la incógnita y escribir la ecuación

Llamaremosxal largo del estanque, en metros;xdeberá ser un número positivo.
Los lados exteriores del camino forman un rectángulo (ABCDde la figura 1), cuya anchura será de 12 m, porque 2 + 8 + 2 = 12. Ahora vamos a expresar el largo de este rectángulo que forma el camino, y para ello haremos uso dex: el largo, en metros, seráx+ 4, ya que 2 +x+ 2 =x+ 4.
El área de este rectángulo mayor (en m²) es 12(x+ 4).
El área del estanque (en m²) es 8x.

Si observas detenidamente el dibujo, comprobarás que el área del rectángulo grande sería equivalente a la suma de las áreas del estanque y del camino. Como resulta que el problema nos dice que camino y estanque tienen la misma área, tenemos otra forma de expresar el área del rectángulo grande: diciendo que es la suma de estas dos últimas, que además son iguales.
Por lo tanto, tenemos dos ecuaciones que nos hablan del rectángulo grande:

Y si las igualamos, tenemos la ecuación: 12(x+ 4) = 2 · 8x.

3.Resolver la ecuación

Leer más: Usar una regla y un transportador de ángulos

Aplicamos la propiedad distributiva en el primer miembro y hacemos la multiplicación de los términos del segundo miembro. Así, obtenemos: 12x+ 48 = 16x.
Si agrupamos los términos enxen el segundo miembro, la ecuación quedaría así: 48 = 16x– 12x.
Simplificamos, 48 = 4x, y despejamos:.
Por lo tanto,x= 12 m.

4. Volviendo al problema: comprobación del resultado

El estanque debe tener 12 m de largo para que las áreas del camino y del estanque sean iguales.

Podemos comprobar que el área del estanque es de 96 m² (8 × 12 = 96) y que el área del camino también es de 96 m² ((12 × 16) – 96 = 96); para calcular el área del camino le hemos restado al rectángulo grande el área del estanque.

Ver también artículoEscribir el texto de un problema como ecuación (2).