¿Qué elementos vamos a necesitar para hallar una función del tipoy=ax+by para comprenderla completamente?
1. Calcular una función afín
Las funciones del tipoy=ax+b(se pueden expresar también comof(x)=ax+b)se denominanfunciones afines. Son muy parecidas a lasfunciones linealesdel tipoy=ax, solo que han sufrido un desplazamiento respecto al origen, provocado por el término independiente “b”. Por lo tanto, decimos que una función afín es una función del tipoy=ax+b, dondeaybson valores constantes. Vamos a calcular unafunción afínhallando los valores deayb.
1. Conocemos los valores de layde dos números dados
Usemos un ejemplo para demostrarlo. Queremos calcular la función afín que hace que:f(4) = 5 y quef(2) = –1.
Todas lasfunciones afinesse caracterizan por la formaf(x)=ax+b. Calculemosayb.
Para hacerlo, podemos decir que parax= 4, tenemos quef(4) =a· 4 +b. Por lo tanto, sif(4) =a· 4 +byf(4) = 5, obtenemos la ecuación 4a+b= 5.
Parax= 2, tenemos quef(2) =a· 2 +b.Por lo tanto, sif(2) =a· 2 +byf(2) = -1, obtenemos la ecuación 2a+b= –1.
Así que hemos de resolver un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, las cuales sonayb:
Resolviendo el sistema por sustitución, obtenemos:
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.
Por consiguiente, la función afín que buscamos esf(x)= 3x– 7.
2. Otras situaciones
Ejemplo 1: vertemos agua en una probeta hasta una altura de 11 cm. Notamos que cada día que pasa el nivel del agua desciende 4 mm debido a la evaporación. Queremos demostrar que la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura del agua en la probeta (en cm) es unafunción afín. Además, queremos calcular esta función.
Después dexdías, el nivel del agua ha bajado 4xmm, esto es, 0,4xcm.
Trasxdías, la altura del agua en la probeta (en cm) debería ser de 11 – 0,4x, o lo que es lo mismo, –0,4x+ 11.
Por consiguiente, la función que relaciona el número de días que transcurren (x) con la altura (en cm) del agua en la probeta, es la función afín:f(x)= – 0,4x+ 11.
Ejemplo 2: un conductor realiza un trayecto desde la ciudadAhacia la ciudadB, situada a 750 km deA. Conduce a una velocidad constante de 90 kilómetros por hora. Queremos demostrar que la función que relaciona la duración del viaje (en horas) con la distancia que separa al conductor de la ciudadB,es una función afín. Así mismo, queremos calcularla.
Llamaremosxa la duración del viaje en horas. Trasxhoras, el conductor ha recorrido 90xkm. Por tanto, la distancia (en km) que separa al conductor de la ciudadBes: 750 – 90x; esto es, –90x+ 750.
Es decir, la función que relaciona la distancia que separa al conductor deB(en km), con la duración del viaje (en horas) es la función afín:f(x)= – 90x +750.
II. Usar la representación gráfica para calcular una función afín
Ejemplo: queremos calcular lafunción afínrepresentada en la figura por la rectaD.
Hagamos quef(x)=ax+bsea lafunción afínque queremos calcular.
Analizando la gráfica, podemos hallar el valor def(x)—de lay— de la rectaDen el origen, es decir, el valor deb. En este casob= 3.
De tal manera que lafunción afínque estamos buscando es del tipof(x)=ax+ 3. Ahora solamente nos queda hallar el valor dea.
Para obtenerlo, buscamos en la recta las coordenadas de un puntoMcualquiera. Leyendo la gráfica, podemos decir queMes un punto de coordenadas (2, 7).
Este punto está en la recta y representa a lafunción afín, en otras palabras:f(2) = 7.
Además, si calculamos el valor de la función parax= 2, obtenemos quef(2) =a· 2 + 3.
Igualando estas dos expresiones obtenemos que: 2a+ 3 = 7.
Simplificando la ecuación:
2a= 7 – 3; 2a= 4 ya= 2.
Así, lafunción afínque estamos buscando esf(x)= 2x+ 3.
Nota:otro método consiste en usar la gráfica para hallar las coordenadas de dos puntos de la recta. Por ejemplo, podemos tomar los puntosM(2, 7) yN(0, 3). A partir de ellos construimos las siguientes ecuaciones:
que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que resolvemos como hemos visto anteriormente.
Funciones
Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal
Para calcular una función afín, necesitamos dos datos esenciales: el valor de la pendiente (m) y el valor de la ordenada al origen (b). La función afín se representa generalmente en la forma f(x) = mx + b, donde “m” es la pendiente y “b” es la ordenada al origen.
Paso 1: Obtener los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b).
Paso 2: Sustituir estos valores en la ecuación f(x) = mx + b.
Paso 3: ¡Calcular la función afín!
A continuación, te presento un ejemplo concreto para calcular una función afín:
Supongamos que queremos encontrar la función afín que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 9).
Paso 1: Primero, calculamos la pendiente (m) utilizando la fórmula:
m = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Donde (x1, y1) y (x2, y2) son los puntos dados.
m = (9 – 5) / (4 – 2) = 4 / 2 = 2
Paso 2: Ahora, tenemos el valor de la pendiente (m = 2). A continuación, necesitamos encontrar la ordenada al origen (b). Para ello, podemos utilizar cualquiera de los dos puntos dados. Tomaremos el punto (2, 5):
f(x) = mx + b
5 = 2(2) + b
Paso 3: Despejamos el valor de “b”:
b = 5 – 4
b = 1
Resultado: Hemos encontrado que la ordenada al origen (b) es 1.
Función Afín Final: La función afín que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 9) es:
f(x) = 2x + 1
Ahora tenemos una función lineal (afín) que representa la relación entre “x” e “y” para los puntos dados.
