Una ecuación de este tipo parece muy difícil de resolver, pero gracias a que el producto de los paréntesis es igual a cero, en realidad se trata de una ecuación que podemos resolver fácilmente. En este tema vamos a ver ecuaciones con una sola incógnita.
I. Descripción Las ecuaciones de este tipo las podríamos representar de la siguiente forma:A×B= 0; en el primer miembro hay dos elementos que se multiplican y el segundo miembro es cero.AyBrepresentan cada uno un paréntesis que suele contener una expresión algebraica de primer grado y de una sola incógnita. Es decir, son de la forma “ax+b”:xes la incógnita;aybson valores constantes.Ejemplo:
Nota: podemos ampliar el contenido de esta descripción diciendo que también es válida sea cual sea el número de factores que haya en el primer miembro. Así que lo que estudiemos a partir de ahora también podremos aplicarlo a ecuaciones con mayor número de factores en el primer miembro, es decir, con una estructura tipo:A×B×C= 0 oA×B×C×D= 0, etc. Trabajaremos con ejemplos de dos factores, con el fin de simplificar el estudio de este tipo de ecuaciones.
II. Resolución Para resolver este tipo de ecuaciones vamos a hacer uso de las siguientes propiedades del álgebra: —si un producto defactores es cero, entonces, como mínimo, uno de ellos tiene que ser cero; —si uno de los factores de un producto es cero, entonces el producto es cero. A partir de estas propiedades podemos decir que siA×B= 0, entoncesA= 0 oB= 0, y también, siA= 0 oB= 0, entoncesA×B= 0. Resumiendo,A×B= 0, de manera queA= 0 oB= 0. Resolver una ecuación de este tipo (A×B= 0) es lo mismo que resolver dos ecuaciones por separado:A= 0 yB= 0.
III. Ejemplos numéricosEjemplo 1: resuelve la ecuación (5x+ 1)(2x– 4) = 0. Si (5x+ 1)(2x– 4) = 0, puede ser que 5x+ 1 = 0, o bien que 2x– 4 = 0. Vamos a resolver estas dos ecuaciones en paralelo, cada una en una columna de esta tabla:
De manera que hay dos posibles soluciones para esta ecuación:
y 2.Nota: mientras una ecuación sencilla, con una incógnita, tiene una sola solución, aquí tenemos un ejemplo de una ecuación que tiene dos soluciones.Ejemplo 2: resuelve la ecuación (3x– 2)² = 0. A partir de aquí (3x– 2)² = 0, tenemos que (3x– 2)(3x– 2) = 0; es decir, ambos factoresAyBson idénticos, por tanto: 3x– 2 = 0 3x= 2
Así que la ecuación tiene una única solución:
. IV. Un ejemplo en geometría La figura de abajo nos muestra un cuadradoCEFHcuyo lado esx. Supongamos quexes un número igual o mayor que 5. Los cuadriláterosABCD,GFEDyGHBAson rectángulos. Nos dan como datosBC= 5 yDE= 3. Las longitudes están en centímetros. ¿Para qué valor o valores dexel área del rectánguloGHBAvale cero? Dicho de otra forma: ¿cuánto debería valerxpara que el área del rectánguloGHBAvalga cero?
HB=x– 5 yAB=x+ 3. Para hallar su área multiplicamos la base por la altura. Por tanto, el área del rectánguloGHBAes: (x– 5)(x+ 3). Si queremos que esta área sea cero, entonces (x– 5)(x+ 3) = 0. Por lo que tenemos una ecuación del tipoA×B= 0. Resolvemos:
Así que esta ecuación tiene dos soluciones: 5 y – 3.xes una longitud y, por lo tanto, ha de ser obligatoriamente un número positivo (las longitudes no pueden tener valores negativos). En consecuencia, la única solución válida para este problema es 5.Conclusión:el área del rectánguloGHBAes cero para y solo parax= 5.
Ecuaciones de 1er Grado
Resolver ecuaciones del tipo a+x = b o ax =b.
Encontrar el número que falta en una operación
Resolver ecuaciones del tipo a/x =b
Resolver una ecuación del tipo (ax+b)(cx+d)=0
Escribir el texto de un problema como ecuación
Resolver ecuaciones de primer grado
