aybson dos números positivos. La longitud del lado del cuadradoABCD(mirar figura 1) esa+b. Dentro de este cuadrado hay otros dos cuadrados y dos rectángulos.aybson las longitudes de los lados de ambos cuadrados y rectángulos.
Podemos calcular el área del cuadradoABCDde dos maneras:
Primer método: el área de un cuadrado de lado a + b es:l2 = (a+b)2.
Segundo método: el área del cuadrado de lado a, en rojo, sumada al área de los dos rectángulos y al área del cuadrado de lado b, en amarillo; es decir:a² +ab+ab+b².
Por consiguiente: (a+b)² =a² + 2ab+b². Esto es un trinomio cuadrado perfecto, es decir, el desarrollo del cuadrado de una suma.
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I. Los tres productos o igualdades notables
1. El cuadrado de un binomio
Las ecuaciones de abajo son ciertas, cualquiera que sea el signo deayb. Así que, para cualquier valor deaybse cumple que:
(a+b)2 =a2 + 2ab+b2;
(a–b)2 =a2 – 2ab+b2.
Vamos a ver por qué (a+b)2 =a2 + 2ab+b2. Observa:
Elevamos el binomio al cuadrado. Es decir, lo multiplicamos por sí mismo: (a+b)2 = (a+b) · (a+b). Aplicamos una doble distributiva:
Y simplificamos la expresióna2 +ab+ab+b2 hasta llegar a la forma en la que se aprende:a2 + 2ab+b2.
Si quieres memorizarlo léelo así: “el cuadrado del primero,másel doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo”:(a+b)2 =a2 + 2ab+b2.
Vamos ahora a ver el desarrollo (a–b)2 =a2 – 2ab+b2.
Elevamos el binomio al cuadrado. Es decir, lo multiplicamos por sí mismo: (a–b)2 = (a–b) · (a–b). Aplicamos una doble distributiva:
Y simplificamos la expresióna2 –ab–ab+b2 hasta llegar a la forma en la que se aprende:a2 – 2ab+b2.
Si quieres memorizarlo léelo así: “el cuadrado del primero,menosel doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo”: (a–b)2 =a2 – 2ab+b2.
Nota: observa que el segundo miembro de ambas expresiones solo difiere en el signo del “doble producto”, 2ab, lo cual ayuda a su memorización.
2. El producto de una suma por una diferencia
aybson dos números positivos. Un cuadrado pequeño de ladobha sido eliminado de un cuadrado más grande de ladoa.
Calcularemos el área de los rectángulos amarillos usando dos métodos.
Primer método: encontrar la diferencia entre el área del cuadrado grande y la del pequeño, esto es,a² –b².
Segundo método: separar las áreas que quedan al eliminar el cuadrado pequeño y alinearlas para formar un rectángulo de dimensionesa+bya–b,cuya área será igual a (a+b)(a–b).
Si ambos métodos llevan a la misma solución, podemos decir que:
a2 –b2es igual que (a+b) (a–b). Por tanto,a2 –b2 = (a+b)(a–b).
II. Aplicaciones
1. Usar productos notables para simplificar expresiones
Simplifiquemos las siguientes expresiones: (2x+ 3)², (3x– 4)² y (5x +2)(5x– 2).
(2x+ 3)² = (2x)² + 2 · 2x· 3 + 3² = 4x² + 12x+ 9
(3x –4)² = (3x)² – 2 · 3x· 4 + 4² = 9x² – 24x+ 16
(5x+ 2)(5x– 2) = (5x)² – 2² = 25x² – 4
2. Usar los productos notables para factorizar expresiones
Ejemplo 1: factorizar las siguientes expresiones: 9x² – 12x+ 4; 81 – 9x² y 16x² + 24x+ 9.
9x² – 12x+ 4 = (3x)² – 2 · 3x· 2 + 2² = (3x– 2)²
81 – 9x² = 9² – (3x)² = (9 + 3x)(9 – 3x)
16x² + 24x+ 9 = (4x)² + 2 · 4x· 3 + 3² = (4x+ 3)²
Ejemplo 2: factorizar (2x+ 1)² – (5x+ 3)².
Aquí podemos observar una expresión del tipoa² –b², dondeaes (2x+ 1) ybes (5x+ 3).
Recuerda quea2 –b2 = (a+b)(a–b) y lo aplicamos: (2x+ 1)2 – (5x+ 3)2 = [(2x+ 1) + (5x+ 3)] · [(2x+ 1) – (5x+ 3)] y simplificando esta última expresión, (2x+ 1 + 5x+ 3) · (2x+ 1 – 5x– 3) = (7x+ 4) · (– 3x– 2).
3. Usar productos notables en operaciones de cálculo mental
Queremos calcular mentalmente: 53², 79² y 41 × 39.
Reescribimos cada operación para expresarla en forma de producto notable. Practiquémoslo mentalmente siguiendo estos pasos:
53² = (50 + 3)² = 50² + 2 × 50 × 3 + 3² = 2.500 + 300 + 9 = 2.809
79² = (80 – 1)² = 80² – 2 × 80 × 1 + 1² = 6.400 – 160 + 1 = 6.241
41 × 39 = (40 + 1)(40 – 1) = 40² – 1² = 1.600 – 1 = 1.599
Expresiones Algebraicas
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Simplificar expresiones algebraicas (1)
Simplificar expresiones algebraicas (2)
Simplificar expresiones del tipo (a+b)(c+d)
Usar los productos notables
Calcular el valor numérico de una expresión algebraica
Usaremos los productos notables para simplificar expresiones algebraicas. Los productos notables son expresiones algebraicas que siguen patrones particulares y pueden simplificarse mediante reglas específicas. Aquí tienes algunos ejemplos:
- Producto Notable: (a + b)^2 Simplificación: a^2 + 2ab + b^2
- Producto Notable: (a – b)^2 Simplificación: a^2 – 2ab + b^2
- Producto Notable: (a + b)(a – b) Simplificación: a^2 – b^2
- Producto Notable: (a + b)^3 Simplificación: a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
- Producto Notable: (a – b)^3 Simplificación: a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3
- Producto Notable: a^2 – b^2 Simplificación: (a + b)(a – b)
Estos son solo algunos ejemplos de productos notables y sus simplificaciones. Es importante recordar estos patrones para agilizar el proceso de simplificación de expresiones algebraicas en casos específicos.
Si tienes expresiones algebraicas que involucren productos notables y deseas que las simplifiquemos, o si tienes más preguntas sobre productos notables o cualquier otro tema de álgebra, no dudes en decírmelo. ¡Estoy aquí para ayudarte en tus cálculos algebraicos!
