Reconocer una relación de proporcionalidad

Reflexionemos sobre las siguientes expresiones:
—en el supermercado, el precio de un pollo es proporcional a su peso;
—viajando a una velocidad constante, el consumo de combustible de un automóvil es proporcional a la distancia recorrida.
Cada una de ellas describe una relación de proporcionalidad.Pero, ¿qué significa esto? ¿Bajo qué condiciones podemos decir que una situación nos está mostrando una relación de proporcionalidad?

I. Reconocer la proporcionalidad

Ejemplo: observa esta tarifa de una compañía telefónica.

La tabla de arriba es un ejemplo de proporcionalidad. El valor de cada una de las cantidades de la fila inferior es el quíntuplo (cinco veces mayor) de los números de la primera fila.
2 ×5 = 10
7 ×5 = 35
0,8 ×5 = 4
Observa que si aumenta el valor de los minutos, también lo hace el precio a pagar (céntimos de €), y que si disminuyen, ocurre lo propio en la fila de abajo. Cuando se establece una relación de este tipo entre dos cantidades (al aumentar o disminuir una de ellas, la otra lo hace en la misma medida) se dice que existe entre ellas una relación deproporcionalidaddirecta. En este ejemplo podemos decir que 5 es laconstantedeproporcionalidaddirecta. Es decir, el número “mágico” que consigue establecer una relación entre el tiempo (minutos) y el dinero (euros).
Esta tabla de proporcionalidad también la podemos expresar como una igualdad de razones o fracciones equivalentes:

Es decir, como unaproporción.
Si calculamos el resultado de cada uno de estos cocientes encontraremos que siempre es el mismo (0,2). Dicho de otra forma:el cociente entre dos números correspondientes de cada razón es constante. A este valor constante le llamaremosrazóndeproporcionalidad.
Definición: una tabla de proporcionalidad es una tabla formada por dos filas de números de manera que siempre hay un valorkque hace que los números de la segunda fila sean, cada uno de ellos,kveces los números de la primera fila.
El numerokes conocido como coeficiente o constante de proporcionalidad directa.

II. Aplicaciones

1 . Ejemplo 1: el precio de un pollo

En la tabla de abajo aparecen el peso y el precio que hemos pagado por cada uno de los cuatro pollos que hemos comprado en un supermercado.

Hagamos los siguientes cálculos:
6,25 : 1,250 = 5, así que 1,250 × 5 = 6,25
1,700 × 5 = 8,5
2,300 × 5 = 11,5
2,520 × 5 = 12,6
Estos cálculos demuestran que la tabla de arriba es una tabla de proporcionalidad directa, que nos ayudará a entender frases como: “el precio del pollo es directamente proporcional a su peso”.
Nota: la constante de proporcionalidad es 5. Por tanto, 5 € deberá ser el precio de 1 kg de pollo. Esta constante de proporcionalidad directa aparece en la etiqueta de los pollos de esta forma: “Precio por kilo: 5 €/kg.”

2. Ejemplo 2: el consumo de combustible de un automóvil

El gráfico representado en la figura 1 nos muestra el consumo de combustible de un coche en función de la distancia recorrida, a velocidad constante. Por ejemplo, podemos leer en ella que en los 100 primeros kilómetros recorridos, este coche ha consumido 5 litros de combustible.

Todos los puntos de la gráfica están alineados con el origen de coordenadas. Este alineamiento es característico de una situación de proporcionalidad.
Podemos plasmar esta relación de proporcionalidad directa creando una tabla que contenga los datos de distancia recorrida (km) en la primera fila y los de consumo de combustible (l) en la segunda. Lógicamente los valores que incluyamos en ella serán tomados directamente de la gráfica. De ese modo, obtendríamos una tabla de proporcionalidad como la que sigue:

Nota: el coeficiente de proporcionalidad directa es igual a 0,05, que serían los litros de combustible consumido por cada kilómetro recorrido.

3. Ejemplo 3: el gasto anual en un vídeo club

En un vídeo club, se pagan 18 € de cuota de suscripción al año y 2 € por el alquiler de cada película.
¿Es el gasto anual proporcional al número de películas alquiladas?
Observa la tabla siguiente:

Te gastas 20 € si alquilas una película (18 € de cuota anual + 2 € por la película).
Te gastas 22 € si alquilas dos películas (18 € de cuota anual + 4 € por las dos películas).
Si observamos el contenido de las dos primeras columnas de la tabla, podemos comprobar que no se trata de una tabla de proporcionalidad, puesto que: 20 = 1 × 20 pero 222 × 20.
Por lo tanto, podemos concluir que el gasto anual no es exactamente proporcional al número de películas alquiladas.

Proporcionalidad

Calcular y usar mapas o planos a escala
Calcular y utilizar porcentajes
Reconocer una relación de proporcionalidad
Resolver problemas de porcentajes
Resolver problemas de velocidad

Reconocer una relación de proporcionalidad es fundamental en matemáticas y nos permite comprender cómo dos cantidades están relacionadas entre sí de manera constante. En una relación de proporcionalidad, cuando una cantidad aumenta o disminuye, la otra también lo hace en una proporción fija. A continuación, te mostraré cómo reconocer una relación de proporcionalidad:

Características de una relación de proporcionalidad directa:

1. Incremento constante: Si al aumentar una cantidad, la otra también aumenta en la misma proporción constante.
2. Decremento constante: Si al disminuir una cantidad, la otra también disminuye en la misma proporción constante.
3. Relación lineal: Si al graficar los valores de las dos cantidades en un plano cartesiano, se obtiene una línea recta que pasa por el origen (punto (0,0)).

Cómo reconocer una relación de proporcionalidad:

Para reconocer una relación de proporcionalidad, puedes seguir estos pasos:

1. Observa los datos: Revisa si los datos dados representan dos cantidades que están relacionadas entre sí.
2. Verifica la relación constante: Compara los valores de las dos cantidades y determina si hay un incremento o decremento constante entre ellos.
3. Grafica los datos: Si es posible, grafica los valores en un plano cartesiano y verifica si la gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

Ejemplo de relación de proporcionalidad:

Supongamos que tenemos una tabla de valores que representan el número de horas trabajadas y el salario ganado por un empleado:

Paso 1: Observamos los datos y notamos que al aumentar las horas trabajadas, el salario también aumenta en la misma proporción constante.

Paso 2: Verificamos la relación constante: Si dividimos el salario por el número de horas trabajadas en cada caso, obtenemos una relación constante de 10.

Paso 3: Graficamos los datos en un plano cartesiano y observamos que la gráfica es una línea recta que pasa por el origen.

Resultado: La relación entre las horas trabajadas y el salario ganado es una relación de proporcionalidad directa, ya que el salario aumenta en proporción constante con el número de horas trabajadas.

Reconocer una relación de proporcionalidad es útil en diversos contextos, como en problemas de comercio, economía, ciencias y muchas otras áreas donde dos cantidades están relacionadas en una proporción constante.