Simplificar una expresión algebraica con paréntesis y productos supone aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y de la resta. La igualdad (1) enuncia la propiedad distributiva respecto de la suma y la igualdad (2) enuncia la propiedad distributiva respecto de la resta:
(1)k(a+b) =ka+kb
(2)k(a–b) =ka–kb
Para simplificar, unas veces convertiremos un producto en una suma, y otras convendrá lo contrario, es decir, sacar factor común en la expresión.
I. Simplificar una expresión algebraica aplicando la propiedad distributiva
Podemos simplificar una expresión algebraica al convertir un producto en una suma, aplicando la propiedad distributiva.
1. Cuando el producto es de un número por un paréntesis
Ejemplo: queremos simplificar las expresionesAyBque aparecen a continuación; aplicamos la propiedad distributiva en cada producto.
A= 2(x+ 1) – 4(3x– 6) = 2x+ 2 – 12x+ 24; simplificada:A= – 10x+ 26
B=a(a– 7) =a² – 7a
2. Cuando el producto es de dos paréntesis
Usamos una “doble distributiva”, esto es:
(a+b)(c+d) =ac+ad+bc+bd,
(a+b)(c–d) =ac–ad+bc–bd,
(a–b)(c+d) =ac+ad–bc –bd,
(a–b)(c–d) =ac–ad–bc+bd.
Ejemplo: queremos simplificar las expresiones siguientes:
A= (2x+ 5)(x– 4) = 2x² – 8x+ 5x– 20; simplificada:A= 2x² – 3x –20
B= (–5 + 3y)(y– 2) = –5y+ 10 + 3y² – 6y; simplificada:B =3y² – 11y+ 10
Nota: también podemos usar los desarrollos de los productos notables para simplificar este tipo de expresiones.
II. Extraer o sacar factor común en una expresión algebraica
Al sacar factor común en una expresión algebraica, convertimos una suma algebraica en un producto.
Por ejemplo:ka+kb=k(a+b) oka – kb=k(a–b)
En ambos casos hemos extraído el factorkque se repite en cada grupo de sumandos.krecibe el nombre defactor común.
Este factor común puede ser un número, una letra, el producto de un número y una letra, el producto de dos letras o una expresión entre paréntesis.
El factor común puede estar visible u oculto. Si está oculto, debemos averiguarlo.
1. El factor común está visible
Veamos algunos ejemplos.
5x– 5a+ 5b= 5(x–a+b); el factor común es 5.
x² – 3x=x(x–3); el factor común esx.
(x+ 2)(4x– 5) + (x+ 2)(5x+ 1) = (x+ 2)[(4x– 5) + (5x+ 1)]; el factor común es (x+ 2).
Simplificando: (x+ 2)(9x –4).
(3x– 4)² – (3x– 4)(2x+ 7) = (3x– 4)[(3x– 4) – (2x+7)]; el factor común es (3x– 4).
Simplificando: (3x– 4)(x– 11).
2. El factor común está oculto
Veamos algunos ejemplos.
A= 10a– 8b= 2(5a– 4b)
B= (2x+ 3)(4x –3) – (4x+ 6)(7x+ 8)
B= (2x+ 3)(4x –3) – 2(2x+ 3)(7x+ 8); el factor común es (2x+ 3).
B= (2x+ 3)[(4x– 3) – 2(7x+ 8)]; y simplificando:B= (2x+ 3)(4x –3 – 14x –16) = (2x+ 3)(- 10x– 19)
Nota: también podemos usar los trinomios cuadrados perfectos (productos notables) para simplificar expresiones algebraicas. Observa los dos ejemplos siguientes.
Ejemplo 1: simplifica
.
Observa que la estructura de esta expresión es idéntica al desarrollo del cuadrado de una resta del tipo
. Es decir, lo que tenemos que simplificar tiene una estructura de trinomio cuadrado perfecto:
.
Por tanto, podemos simplificar así:
También puede ocurrir que el trinomio cuadrado perfecto no se vea claramente hasta que hayamos realizado alguna simplificación previa. Vamos a verlo en el segundo ejemplo.
Ejemplo 2: simplifica
.
Comenzamos extrayendoacomo factor común:
Podemos observar que ahora el contenido del paréntesis es un trinomio cuadrado perfecto:
Por tanto, simplificando:
.
Expresiones Algebraicas
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Simplificar expresiones algebraicas (1)
Simplificar expresiones algebraicas (2)
Simplificar expresiones del tipo (a+b)(c+d)
Usar los productos notables
Calcular el valor numérico de una expresión algebraica
- Expresión: 3x + 2x – 5x Simplificación: 0 Explicación: Los términos con “x” se cancelan entre sí al sumar y restar coeficientes iguales.
- Expresión: 4y^2 – 2y^2 Simplificación: 2y^2 Explicación: Restamos los coeficientes de los términos semejantes con “y^2”.
- Expresión: (2a + 3b) + (4a – b) Simplificación: 6a + 2b Explicación: Sumamos los términos semejantes con “a” y “b”.
- Expresión: 2(x + 3) – x(2 – 5) Simplificación: 2x + 6 – (2x – 5x) = 2x + 6 – 2x + 5x = 5x + 6 Explicación: Aplicamos distributiva y luego sumamos los términos semejantes con “x”.
Recuerda que al simplificar una expresión, buscamos combinar términos semejantes y realizar operaciones como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones para reducir la expresión a su forma más simple.
Si tienes más expresiones que desees simplificar o cualquier otra pregunta relacionada con álgebra, no dudes en decírmelo. ¡Estoy aquí para ayudarte en tus cálculos algebraicos!
