Estudiadas las funciones lineales, vamos a tratar ahora la función cuadrática, y = x2, y la función inversa o recíproca, y = 1/x.
¿Se mantiene siempre igual el orden entre dos números que entre los valores obtenidos al elevarlos al cuadrado? ¿Y con sus valores inversos? Estudiando ambas funciones descubriremos para qué intervalos el orden se mantiene y para qué intervalos el orden se invierte.
Se pueden obtener otras muchas funciones a partir de estas funciones básicas.

I. Características de la funcióny=x2

La funcióny=x2 está definida para todos los números reales,R.
Decrece para los valores del intervaloy crece para los del intervalo.
Su tabla de variación es la siguiente:

Construimos la siguiente tabla de valores:

Con esta tabla de valores podemos representar dichafunción cuadratica, resultando laparábola:

Nota:al elevar al cuadrado dos números iguales pero con signos opuestos, se obtiene el mismo valor; por tanto, la curva es simétrica respecto al ejey.

II. Características de la función inversa

La función inversay= 1/xno está definida parax= 0: está definida para todos los valores reales menos el cero,R– 0.
Decrece para los valores del intervaloy para los del intervalo.
Su tabla de variación es la siguiente:

Construimos la siguiente tabla de valores:

Podemos ahora representar las dos ramas de lahipérbolaque representa a dichafunción cuadratica:

Nota:las imágenes de dos números con signos opuestos también son opuestas; la curva es, por tanto, simétrica con respecto al origen de coordenadas.

III. Descomponer una función mediante una serie de operadores

Un operador es una función que define una operación simple. Por ejemplo:
—sumar 2:
;

—calcular la raíz cuadrada:
;
—hallar el opuesto:
.
Si se conoce la cadena de operadores, es fácil determinar la función final.
Ejemplo:si aplicamos sucesivamente los operadores “sumar 2”, “elevar al cuadrado” y “obtener el opuesto”, se obtiene la funcióny= -(x+ 2)2. La secuencia de operadores será:
.
Tomemos dos númerosaybdel intervalo [0, 5], tales quea<b; entonces: 0 <a<b< 5.
En primer lugar, le sumamos 2 a cada miembro: 2 <a +2 <b +2 < 7 .
Al elevar estos números positivos al cuadrado, el orden no cambia:.
Si tomamos ahora los valores opuestos, el orden cambia:.
El orden de las imágenes deaybobtenidas al aplicarles la funcióny= -(x+ 2)2 es el inverso. El signo se ha invertido; por tanto, es una función decreciente en este intervalo.

IV. Comparar un número positivo con los valores de su cuadrado, de su cubo, de su inverso y de su raíz cuadrada

Representamos en una misma gráfica para valores dexpertenecientes al intervalo, las cinco funciones:y=x;y=x2;y=x3;;y= 1/x. Obtenemos unafuncion cuadratica:

Se puede comprobar observando dicha gráfica que:
si 0 <x< 1, entonces se cumple que:;
six> 1, entonces tenemos que:.
Recuerda:
—Lafunción cuadráticay=x2, por la que se obtiene el cuadrado de cualquier número real, decrece para valores negativos dexy crece para los valores positivos de esta variable. Al elevar al cuadrado se invierte el orden si los números son negativos, y se mantiene dicho orden si son positivos. La representación de la funcióny=x2 es una parábola.
—La función inversay= 1/x, por la que se obtiene el inverso de cualquier número real distinto de cero, decrece para los valores negativos y positivos de la variable. Esta función invierte el orden, tanto para valores positivos como negativos de la variablex. La representación de la función inversay= 1/xson las dos ramas de una hipérbola.
—Descomponiendo una función en una serie de operadores, resulta fácil determinar cómo varía la función en un intervalo dado.
—Los números entre 0 y 1 son mayores que su cuadrado y menores que su raíz cuadrada. Los números mayores que 1 son mayores que su raíz cuadrada y menores que sus cuadrados.

Funciones

Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal

Las funciones y = x^2 e y = 1/x son dos ejemplos importantes de funciones en matemáticas. Analicemos cada una de ellas:

1. Función y = x^2: Esta es una función cuadrática, donde “x” es la variable independiente y “y” es la variable dependiente. La función y = x^2 representa una parábola que se abre hacia arriba en el plano cartesiano. A medida que “x” aumenta, el valor de “y” se incrementa de forma cuadrática.

Algunos puntos importantes en esta función son:

• Cuando “x” es igual a cero (x = 0), el valor de “y” es cero (y = 0), lo que corresponde al vértice de la parábola.
• Cuando “x” es positivo, los valores de “y” aumentan rápidamente, ya que cada aumento en “x” resulta en un aumento aún mayor en “y” debido al cuadrado.
• Cuando “x” es negativo, los valores de “y” también son positivos, ya que cualquier número elevado al cuadrado es siempre positivo.

2. Función y = 1/x: Esta es una función racional, donde “x” es la variable independiente y “y” es la variable dependiente. La función y = 1/x representa una hipérbola que tiene una asíntota vertical en “x = 0” y una asíntota horizontal en “y = 0”.

Algunos puntos importantes en esta función son:

• Cuando “x” se acerca a cero desde el lado positivo, el valor de “y” tiende a infinito positivo (y → ∞).
• Cuando “x” se acerca a cero desde el lado negativo, el valor de “y” tiende a infinito negativo (y → -∞).
• Cuando “x” se aleja de cero hacia infinito positivo o negativo, el valor de “y” se acerca a cero (y → 0).

Ambas funciones son fundamentales en matemáticas y tienen diversas aplicaciones en ciencias, ingeniería, economía y otras áreas. Son ejemplos importantes para entender las características de las funciones cuadráticas y racionales, así como su comportamiento en el plano cartesiano.

Funciones

Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal

Las funciones son conceptos fundamentales en matemáticas que nos permiten establecer una relación entre dos conjuntos: el dominio y el codominio. Una función asigna cada elemento del dominio a un único elemento del codominio. Matemáticamente, una función se denota como “f(x)” o “y = f(x)”, donde “f” es el nombre de la función y “x” es la variable independiente.

En términos más sencillos, una función nos dice cómo convertir un valor de “x” en un valor de “y” mediante una regla específica. Los valores de “x” se denominan entradas o argumentos, y los valores correspondientes de “y” se llaman salidas.

Por ejemplo, considera la función “f(x) = 2x + 3”. En esta función, cada valor de “x” se multiplica por 2 y luego se le suma 3 para obtener el valor correspondiente de “y”. Si tomamos “x = 2”, entonces “f(2) = 2(2) + 3 = 7”, lo que significa que cuando “x” es igual a 2, “y” es igual a 7.

Las funciones son fundamentales para modelar situaciones en matemáticas y en muchas otras disciplinas científicas. Pueden representar relaciones matemáticas, leyes naturales, comportamientos de fenómenos físicos y más. Además, el estudio de las funciones nos permite comprender cómo los cambios en una variable afectan a otra y cómo describir y analizar diversas situaciones en la vida real.

Existen diferentes tipos de funciones, como las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas y más, cada una con sus propias características y propiedades.

En resumen, las funciones son una herramienta poderosa y versátil en matemáticas y en la resolución de problemas en diversas áreas del conocimiento.