Escritura y propiedades de los números

“Dios creó los números naturales. Los demás números son cosa del hombre.” Leopold Kronecker (1823-1891).
Durante ciertos periodos de la historia, los números naturales se consideraron un conocimiento innato, o un regalo de los dioses. Pero según aparecían nuevos problemas, hubo que “construir” otras familias de números para resolverlos: números decimales para mejorar las operaciones técnicas, números enteros para los intercambios comerciales, números racionales e irracionales para medir tamaños, etc.
A continuación, estudiamos los diferentes grupos o conjuntos de números.
I. Grupos o conjuntos de números
Distinguimos entre varios grupos de números:
Designamos con la letraNel conjunto de los números enteros positivos onúmeros naturales.
N=

.
Designamos con la letraZel conjunto de losnúmeros enteros.
Z=

.
Designamos con la letraDel conjunto de losnúmeros decimales. Estos números pueden tener:
—un número finito o limitado de cifras después de la coma: son los números decimales exactos; o
—un número infinito de cifras, que se repiten de forma periódica: son los números decimales periódicos. A su vez, estos se clasifican en periódicos puros, si las cifras comienzan a repetirse a partir de la coma, o periódicos mixtos, si entre la coma y las cifras que se repiten (llamadas periodo) hay una o más cifras (llamadas ante periodo).
Por ejemplo,

es un número decimal exacto, sin embargo

es un número decimal periódico puro, cuyo periodo es la cifra 3.
Designamos con la letraQel conjunto de losnúmeros racionales, que incluye los números enteros y los números decimales, sean exactos o periódicos. Son, por tanto, números que se pueden escribir en la forma

donde

Zy

Z(son cocientes de números enteros).
Por ejemplo,

y

son números racionales, pero

no es un número racional.
Designamos porRel conjunto de losnúmeros reales. Este conjunto comprende todos los números que usamos. Se pueden representar sobre una recta llamadarecta real:

Cada número real queda representado por un punto y cada punto representa un número real.
Este conjunto incluye losnúmeros irracionales, que son aquellos números reales que no son racionales.
Según lo que hemos visto hasta ahora, un número natural es también un número entero; un número entero es también un número racional, etc. Esta relación entre los conjuntos de números la podemos expresar así:
NÌZÌQÌR.
En resumen:

II. ¿A qué grupo o grupos de números pertenece un número dado?
Para reconocer de qué tipo es un número:
—Hemos de simplificar su escritura tanto como sea posible.
—En el caso de una fracción irreducible

tendremos que hallar la división. Si es finita (es decir, si el resto es cero) entonces

es un número decimal exacto; si es infinita, puede haber dos posibilidades, que sea un decimal periódico, o que no sea periódico, en cuyo caso sería un número irracional.
—Si no podemos escribir el número como cociente entre enteros, es un número irracional.
III. Escribir un número decimal
En asignaturas de ciencias, a menudo utilizamos potencias de 10 para escribir un número decimal, lo cual nos da una idea del tamaño del número.
Ejemplo:
Sea el número decimal 28.642,357.
Lo podemos escribir como un número entero y una potencia de 10: 28.642.357 x 10-3.
Utilizando lanotación científica, este número se escribiría usando un número decimal comprendido entre 1 y 10 (excluyendo al 10) y una potencia de 10: 2,8642357 x 104.
Redondeando el número decimal de la notación científica al número entero más próximo, obtenemos una aproximación del número:

.
IV. Obtener un valor aproximado
Si queremos escribir un número real que no es un número decimal exacto, en forma de número decimal, tenemos que usar un valor aproximado.
Por ejemplo,

. Es una aproximación, no es exactamente igual, porque los“3”se repiten indefinidamente.
Se puede obtener un valor aproximado redondeando por exceso o por defecto. Decimos que hemos redondeado un número hasta el valor

, siendopun número entero, cuando la diferencia entre el número y su valor aproximado es menor que

.
Para determinar el valor de un número real positivo aproximándolo ancifras decimales:
—Si redondeamos por defecto, truncamos el número reduciéndolo ancifras decimales (lo que significa eliminar las cifras decimales que quedan a partir de lan-ésima, contando desde la coma).
—Si redondeamos por exceso, tomamos el valor aproximado que se obtiene al redondear por defecto y añadimos 1 a la última cifra decimal (lo que significa añadir

a la aproximación por defecto).
Para aproximar un número real negativo ancifras decimales:
—Si redondeamos por exceso, truncamos el número dejándolo conncifras decimales.
—Si redondeamos por defecto, tomamos el valor aproximado que se obtiene al redondear por exceso y añadimos 1 a la última cifra decimal.
Para redondear un número real ancifras decimales, acortamos el número, dejándolo conncifras decimales, y entonces:
—el número acortado es el valor redondeado si la cifra decimaln+ 1 es 0, 1, 2, 3 o 4;
—cuando la cifra decimaln+ 1 del número real sea 5, 6, 7, 8 o 9, el valor redondeado se obtiene sumando 1 a la última cifra decimal del número acortado.
V. Criterios de divisibilidad y números primos
Decimos que un númeroaes divisible por otro númerobcuando existe un númeroq, tal quea=bq.
Podemos entonces decir quebes un divisor o factor deay queaes un múltiplo deb.
Para hallar los divisores de un número, hemos de conocer los siguientescriterios de divisibilidad:
—un número es divisible por 2 si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8;
—un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 3;
—un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es divisible por cuatro;
—un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5;
—un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9;
—un número es divisible por 10 si su última cifra es 0;
—un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma de las que ocupan lugar impar es 0 o múltiplo de 11.
Unnúmero primoes un número natural que solo tiene dos divisores: 1 y él mismo.
Es importante conocer cuáles son los números primos más pequeños (los hallamos usando la criba de Eratóstenes). Estos números son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101…
Para averiguar si un número es primo:
—en primer lugar, comprobamos que no satisfaga ninguno de los criterios de divisibilidad anteriores;
—a continuación, dividimos el número entre 7, 11, 13, 17,… comprobando que el resto de la división no sea cero (que no sea una división exacta). Cuando el cociente llega a ser más pequeño que el divisor, no es necesario continuar.
VI. Descomposición de un número en sus factores primos
252 no es un número primo, ya que 252 = 4 · 9 · 7 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7. Así pues, el número 252 es un producto de números primos. De forma general, podemos decir que cualquier entero que sea mayor que o igual a 2 es primo o es producto de números primos.
Cuando descomponemos un número en producto de sus factores primos, decimos que lo hemosfactorizado.
Para descomponer un número en producto de sus factores primos, por ejemplo 72, podemos:
—usar las tablas de multiplicación: 72 = 8 · 9 = 23 · 32;
—o dividir sucesivamente entre 2, 3, 5, 7, etc. En nuestro ejemplo, obtenemos la tabla siguiente:

De aquí, obtenemos que 72 = 23 · 32.
Utilizamos la descomposición en factores primos para simplificar fracciones y radicales. También la usamos para hallar el máximo común divisor o el mínimo común múltiplo de un grupo de números.
Recuerda
NÌZÌQÌR.
Expresar un número decimal en notación científica supone escribirlo como el producto de un número decimal comprendido entre 1 y 10 (excluyendo al 10) por una potencia de 10.
Un número primo es un número natural que solo es divisible por sí mismo y por la unidad.

Sistemas de numeración

Escritura y propiedades de los números
Ordenar números y valores absolutos

La escritura y las propiedades de los números son fundamentales en matemáticas. A continuación, te mostraré algunos conceptos importantes sobre la escritura y las propiedades de los números:

Escritura de los números:

1. Números naturales: Los números naturales son aquellos que se utilizan para contar objetos o elementos. Comprenden los números positivos desde el 1 hasta infinito. Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, …
2. Números enteros: Los números enteros incluyen todos los números naturales junto con sus opuestos (números negativos). Se representan con el símbolo “Z”. Por ejemplo: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
3. Números racionales: Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción, donde el numerador y el denominador son números enteros. Se representan con el símbolo “Q”. Por ejemplo: 1/2, -3/4, 5/7, 0.25 (que es lo mismo que 1/4), …
4. Números irracionales: Los números irracionales son aquellos que no pueden expresarse como una fracción y tienen una expansión decimal infinita y no periódica. Algunos ejemplos son √2, π (pi), e, …
5. Números reales: Los números reales comprenden todos los números racionales e irracionales y se representan con el símbolo “R”. Incluyen todos los números que se pueden ubicar en la recta numérica.

Propiedades de los números:

1. Propiedad conmutativa: La propiedad conmutativa se aplica en la suma y multiplicación. En la suma, el orden de los números no altera el resultado: a + b = b + a. En la multiplicación, el orden de los factores no altera el producto: a * b = b * a.
2. Propiedad asociativa: La propiedad asociativa también se aplica en la suma y multiplicación. En la suma, se pueden agrupar los números de diferentes maneras sin alterar el resultado: (a + b) + c = a + (b + c). En la multiplicación, también se pueden agrupar los factores de diferentes maneras: (a * b) * c = a * (b * c).
3. Propiedad distributiva: La propiedad distributiva relaciona la suma y la multiplicación: a * (b + c) = a * b + a * c. Esta propiedad es útil para simplificar expresiones algebraicas.
4. Propiedad del elemento neutro: En la suma, el elemento neutro es el número 0, ya que a + 0 = a para cualquier número a. En la multiplicación, el elemento neutro es el número 1, ya que a * 1 = a para cualquier número a.
5. Propiedad del inverso aditivo: Todo número real tiene un opuesto aditivo. Si sumamos un número con su opuesto aditivo, el resultado es 0. Por ejemplo, a + (-a) = 0.
6. Propiedad del inverso multiplicativo: Todo número real distinto de 0 tiene un inverso multiplicativo. Si multiplicamos un número por su inverso multiplicativo, el resultado es 1. Por ejemplo, a * (1/a) = 1.

Estas son solo algunas de las propiedades fundamentales de los números en matemáticas. Conocer estas propiedades es esencial para simplificar expresiones, resolver ecuaciones y realizar operaciones de manera eficiente.