Toda función linealf(x)=axes una relación de proporcionalidad.
¿Cómo representar una función lineal gráficamente, es decir, cómo representar una relación de proporcionalidad en una gráfica?

I. Grafica de una función lineal

1. Un ejemplo
Representemos gráficamente lafunción linealf(x)= 2x.
Para ello, sobre un sistema de coordenadas cartesianasOxy, tomamos un valor cualquieraxsobre el eje de abscisas y hallamos el correspondiente valor de la ordenadaypara obtener las dos coordenadas del punto correspondiente.
Así, six= 1, tenemosf(1)= 2, de donde obtenemos el punto de coordenadas (1, 2).
Tomamos algunos valores aleatoriosdexy hallamos los correspondientes valores dey.
Para ello, resulta cómodo usar una tabla como la siguiente:

Representando estos puntos, obtenemos la gráfica mostrada en la figura 1.

Vemos que los puntosA,B,CyDpertenecen a la recta que pasa por el origen.
De hecho, todos los puntos que obtengamos para esta función están situados sobre esa recta, que es la representación gráfica de la función linealf(x)= 2x.

2. Propiedades de gráfica de una función lineal

La representación gráfica de una función linealf(x)=axes una recta que pasa por el origen.
La representación gráfica de una función linealf(x)=axes la recta de ecuacióny = ax.
Al coeficienteade la función lineal se le llama pendiente de la recta.
Ejemplo: la representación gráfica de la función linealf(x)= 3xes la recta de ecuacióny= 3x. Para dibujar esta recta, tomamos valores aleatorios dex,hallamos sus correspondientesvalores dey,y situamos los puntos (x,y) obtenidos.
Nota: la representación gráfica de una función lineal pasa siempre por el origen, ya que la ordenadaycorrespondiente ax= 0 de cualquier función lineal es 0, resultando el punto de coordenadas (0, 0), es decir, el origen.

3. Ejemplos de aplicación de una función lineal

Sabemos que la representación gráfica de cualquier función linealf(x)=axes una recta que pasa por el origen. Esto significa que, para dibujar esa recta, solo tenemos que hallar otro cualquiera de sus puntos diferente del origen.
Ejemplo 1: queremos representar gráficamente la función linealf(x)= -3x.
Hallamos un punto dándole un valor cualquiera a lax. Por ejemplo, six= 1 tenemos quef(1) = -3, lo que nos da el puntoA(1, –3).
La gráfica es la recta que pasa porAy por el origen.

Ejemplo 2: queremos representar gráficamente la función lineal, y a continuación hallar los valores deycorrespondientes ax= –4 y ax= 6, valores deyque leeremos sobre la gráfica.
Para dibujar esta recta tomemosx= 4. Obtenemos; es decir,f(4) = 2, que nos da el puntoB(4, 2). Trazamos la recta que pasa por este punto y por el origen.
Para hallar sobre la gráfica el valor deycorrespondiente ax= – 4, buscamos el punto en el que la línea vertical discontinua trazada sobre el valor –4 del ejexcorta a la recta, y leemos el valor deyque resulta. Obtenemosf(–4) = –2.
De igual manera procedemos para obtener el valor deyque corresponde ax= 6, obteniendof(6) = 3.

II. Interpretar la pendiente en una gráfica

Representemos en una misma gráfica las cuatro funciones lineales siguientes:
f(x)= –4x;;f(x)= 0,2x; f(x)= 3x.
LlamemosD1 a la recta que representa la funciónf(x)= –4x. Six= 1, obtenemosf(1) = –4, lo que nos da el puntoA(1, –4) sobreD1.
LlamemosD2 a la recta que representa la función. Six= –4, obtenemosf(–4) = 2, lo que nos da el puntoB(–4, 2) sobreD2.
LlamemosD3 a la recta que representa la funciónf(x)= 0,2x. Six= 5, obtenemosf(5) = 1,lo que nos da el puntoC(5, 1) sobreD3.
LlamemosD4 a la recta que representa la funciónf(x)= 3x. Six= 2, obtenemosf(2) = 6,lo que nos da el puntoD(2, 6) sobreD4.
Obtenemos esta representación:

Las pendientes de las cuatro rectas son: –4 para la rectaD1,para la rectaD2, 0,2 para la rectaD3 y 3 para la rectaD4.
Observando esta gráfica, podemos decir que:
—D1 yD2, que tienen pendiente negativa, son rectas que descienden según aumentax, mientras queD3 yD4, que tienen pendiente positiva, ascienden según aumentax.
—D1 está más inclinada queD2 (la pendiente deD1 (-4) es menor que la deD2); de forma similar,D4 está más inclinada queD3 (la pendiente deD4 (3) es mayor que la deD2 (0,2)).
Conclusión: la pendiente nos permite distinguir entre rectas “ascendentes” y “descendentes” según aumentax, y comparar los grados de inclinación de rectas diferentes.

Funciones

Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal

La representación gráfica de una función lineal es una línea recta en el plano cartesiano. Una función lineal tiene la forma “y = mx + b”, donde “m” es la pendiente de la recta y “b” es la ordenada al origen.

Para graficar una función lineal, sigue estos pasos:

1. Identificar la pendiente (m) y la ordenada al origen (b): En la ecuación “y = mx + b”, la pendiente “m” determina la inclinación de la recta, mientras que la ordenada al origen “b” indica el punto donde la recta cruza el eje vertical (eje “y”).
2. Ubicar la ordenada al origen: En el plano cartesiano, encuentra el punto donde la recta cruza el eje “y” en el punto (0, b).
3. Utilizar la pendiente para graficar más puntos: La pendiente “m” representa el cambio en “y” por cada unidad de cambio en “x”. Utiliza la pendiente para encontrar otros puntos en la recta. Por ejemplo, si la pendiente es 2, desde el punto (0, b), mueve 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para ubicar otro punto. Continúa este proceso para obtener varios puntos.
4. Dibujar la recta que conecta los puntos: Una vez que tienes varios puntos, dibuja una línea recta que pase por todos ellos. La recta debe ser continua y extenderse más allá de los puntos para indicar que la función es válida para todos los valores de “x”.

Si la pendiente es positiva, la recta se inclinará hacia arriba hacia la derecha. Si la pendiente es negativa, la recta se inclinará hacia abajo hacia la derecha. Si la pendiente es cero, la recta será horizontal.

Por ejemplo, si tienes la función “y = 2x + 3”, primero ubica el punto (0, 3) en el eje “y”. Luego, desde ese punto, mueve 1 unidad hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para ubicar otro punto. Repite este proceso para obtener varios puntos y, finalmente, dibuja una línea recta que pase por todos ellos.

Recuerda que la representación gráfica de una función lineal es una línea recta que muestra la relación directamente proporcional entre “x” e “y”.