Siempre que un valorydepende de un valorx, decimos que el primero es función del segundo. Por ejemplo, la temperatura es una función de la altitud. Si conocemos la altitud, podemos calcular la temperatura.
Vamos a analizar con mayor detalle el concepto de función, a definir el conjunto de valores para los que una función dada está definida, lo que llamamos su dominio de definición (si la variable está en el denominador o dentro de una raíz cuadrada, ciertos valores reales son imposibles), y a introducir el sentido de variación de una función o monotonía (la mayoría de las funciones raramente son monótonas, sino que cambian de tendencia, es decir, crecen o decrecen varias veces a lo largo de su dominio de definición).

I. ¿Está siempre definida una función?

Una función numérica es una relación que le asocia a cada valor de la variablex, tomada del conjuntoD(una parte o subconjunto de los números reales),un único valory, al que llamamosimagen.
Sifes una función, entonces escribimosy=f(x).
Ejemplo:
Si un coche gasta 10 litros de gasolina cada 100 km y en su depósito caben 50 litros, el número de litros (y) que quedan en el tanque será función del número de kilómetros recorridos (x) según la fórmulay= 50 – 0,1x.Sifes una función que relacionaxcony, podemos escribir:f(x)= 50 – 0,1x.
Puesto que el conductor no puede viajar más de 500 kilómetros, decimos que el conjunto de valores para los que la función está definida es el intervalo [0, 500] y usamos la notaciónDf =[0, 500].
Una función no está definida para valores que:
—hacen cero su denominador;
—hacen que una expresión dentro de una raíz cuadrada tome signo negativo.
Ejemplos:
La función inversa o recíproca (y= 1/x) está definida para todos los números reales, excepto para el cero. Así, el conjunto de números para los que sí está definida es:.
La función raíz cuadrada () está definida para cualquier número real positivo y para el cero:.

II. Calcular un valory

Para calcular un valor de la variable dependienteycorrespondiente a un valor dex, sustituimos dicho valor dexy efectuamos los cálculos indicados por la función. Primero resolvemos las operaciones entre paréntesis, a continuación las potencias, después los productos y cocientes. Finalmente, efectuamos las sumas y restas.
Por ejemplo, para calcular el valorycorrespondiente ax= 5 en una funciónfdefinida enRpor:f(x)= 4(x– 3)2 – 1, procedemos así:f(5) = 4(5 – 3)2 – 1 = 4 · 22 – 1 = 4 · 4 – 1 = 16 – 1 = 15.
Para construir una tabla de valores, vamos dando distintos valores axy obtenemos los correspondientes valores de y. También podemos construir la tabla utilizando la calculadora. Habiendo escrito la expresión de la función, especificamos los valores límites para la variable independientex,así como el salto entre dos de sus valores consecutivos o el número total de valores dex.Los valores de la variablexy los de la variable dependienteyse pueden presentar en dos columnas. Por ejemplo, podríamos completar la siguiente tabla de valores comenzando por el 1 y terminando en el 3 con saltos de 0,5 en 0,5:

Leer más: Calcular frecuencias relativas

III. Calcular el valor dexque corresponde a un valor deydado

Para calcular el valor del original o antecedentexde una funciónf,correspondiente a un número reala,resolvemos la ecuaciónf(x)= a.
Así, hallar el antecedente de 3 obtenido por la función afínf, definida enRcomof(x)= 2x– 1, se convierte en calcular los valores dextales que 2x– 1 = 3.
Observemos que para algunas funciones, un número real puede tener varios antecedentes, o incluso no tener ninguno.
Por ejemplo, para la función cuadrática definida enR,y=x2, 4 tiene los antecedentes 2 y –2; sin embargo –4 no tiene antecedentes.

IV. Sentido de variación de una función

Sea una funciónfy un intervaloIincluido en el dominio de definición def.
Si para cada par de númerosaybdel intervaloItales quea<btenemosf(a) <f(b), entoncesfescrecienteenI(también decimos quefmantiene el signo).
Si para cada par de númerosaybdel intervaloItales quea<btenemosf(a) >f(b), entoncesfesdecrecienteenI(finvierte el signo).
Ejemplo:
Dada la función afínf, definida en [–1, 5] comof(x)= –2x+3, para cualquier pareja de números realesaybtales que -1 <a<b< 5, tenemos (al multiplicar por -2 y sumar 3 para obtener las imágenes):
2 > -2a> -2b> -10;
5 > -2a+ 3 > -2b+ 3 > -7;
es decir, 5 >f(a) >f(b) > -7.
Puesto que el signo está invertido,fes decreciente en el intervalo [-1, 5].
Podemos resumir esta información en una tabla de variación:

Una función afín es decreciente cuando su pendiente es negativa, mientras que si la pendiente es positiva, la función es creciente.
Unoperadores una función que controla una operación individual. Cuando descomponemos una función en una serie de operadores, los aplicamos sucesivamente a los valores o imágenes que vamos obteniendo.
Ejemplo:
La funciónfestá definida encomof(x)= –2x2+ 3. La descomponemos en operadores:
Si 1 <a<b, tenemos que:, entoncesy.
Por lo quef(a) >f(b). El signo está invertido, de manera que podemos afirmar que la funciónfes decreciente en el intervalo.

Leer más: Reconocer una relación de proporcionalidad

V. Hallar el signo de una función

Para hallar la parte del dominio dedefiniciónde unafunciónen la que dicha función es positiva o nula, resolvemos la inecuación. La función tendrá signo negativo en el resto del dominio.
Nota:una función puede ser positiva y decreciente (por ejemplo, la funcióny= -2x+ 20, definida en [5, 10]) o negativa y creciente (como la funcióny= 2x+ 1, definida en [-10, -5]).
Recuerda
—Los valores de la variablexque hacen que se anule el denominador de una función deben ser excluidos del dominio dedefinición de dicha función. De la misma forma, bajo el signo de raíz cuadrada, solo están permitidos valores positivos.
—Una función es creciente en un intervalo cuando los valoresypara cualquier par de númerosaybde dicho intervalo están en el mismo orden queayb.Si el orden es el inverso, la función es decreciente.
—No debemos confundir el signo de una función con cuál es su evolución o sentido de variación. Una función puede ser positiva y decreciente y también puede ser negativa y creciente.

Funciones

Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal

Las funciones son conceptos fundamentales en matemáticas que nos permiten establecer una relación entre dos conjuntos, el dominio y el codominio. Una función asigna cada elemento del dominio a un único elemento del codominio. Matemáticamente, una función se denota como “f(x)” o “y = f(x)”, donde “f” es el nombre de la función y “x” es la variable independiente.

Las funciones pueden representarse mediante expresiones algebraicas, gráficas o incluso en forma de tablas. Cada valor de “x” en el dominio tiene una única correspondencia con un valor de “y” en el codominio.

Por ejemplo, consideremos la función lineal “f(x) = 2x + 3”. En esta función, cada valor de “x” se multiplica por 2 y luego se le suma 3 para obtener el valor correspondiente de “y”. Si tomamos “x = 2”, entonces “f(2) = 2(2) + 3 = 7”, lo que significa que cuando “x” es igual a 2, “y” es igual a 7.

Leer más: Describir una circunferencia y calcular su perímetro

Las funciones son fundamentales para modelar situaciones en matemáticas y en diversas áreas de la ciencia. Pueden representar relaciones matemáticas, leyes físicas, comportamientos económicos y más. Además, el estudio de las funciones nos permite analizar y entender cómo cambian las variables en función de otras, así como resolver problemas de la vida real mediante el análisis de sus propiedades.

Existen diferentes tipos de funciones, como las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas y más, cada una con sus propias características y aplicaciones.

En resumen, las funciones son una herramienta poderosa y versátil en matemáticas y en la resolución de problemas en diversas áreas. Si tienes preguntas específicas sobre funciones o necesitas ayuda con algún tema relacionado, ¡no dudes en preguntar! Estoy aquí para asistirte en lo que necesites.

FuncionesChatGPT

¡Por supuesto! Las funciones son conceptos fundamentales en matemáticas que nos permiten establecer una relación entre dos conjuntos, el dominio y el codominio. Una función asigna cada elemento del dominio a un único elemento del codominio. Matemáticamente, una función se denota como “f(x)” o “y = f(x)”, donde “f” es el nombre de la función y “x” es la variable independiente.

Existen diferentes tipos de funciones, como las funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas y más, cada una con sus propias características y aplicaciones.