Si conocemos la expresión algebraica de una función, podemos determinar su dominio de definición y su sentido de variación. Para representarla gráficamente, construimos una tabla de valores. Recíprocamente, a partir de la representación gráfica de una función podemos deducir su dominio de definición y su tabla de variación. También podemos utilizar las representaciones gráficas de funciones para resolver ecuaciones o inecuaciones.

I. Deducir el dominio de definición de una función a partir de su representación gráfica

Para cada punto de la curva leemos sobre el eje horizontal el valor de la abscisax
. Eldominio de definiciónes el conjunto de estas abscisas o valores dex. Puede ser un intervalo, o la unión de dos o más intervalos.
Ejemplo:la gráfica siguiente está formada por puntos cuya abscisaxestá comprendida entre -3 y 5, excluyendo al valor 1. Representa a una función definida en los intervalos:.

II. Construir la tabla de variación de una función a partir de su representación gráfica

Una función escrecienteen un intervaloI, si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenesycorrespondientes a los valores que tomaxen dicho intervalo aumentan.
Una función esdecrecienteen un intervaloI, si, al recorrer su representación gráfica de izquierda a derecha, los valores de las imágenesycorrespondientes a los valores que tomaxen dicho intervalo disminuyen.
Una función esconstanteen un intervaloI, si su representación gráfica es un segmento horizontal.
Ejemplo:

La gráfica anterior representa una funciónfque es:
—decreciente para el intervalo [-3, 2];
—constante para el intervalo [2, 3];
—creciente para el intervalo [3, 6].
La función alcanza su valor mínimo en el intervalo [2, 3].
Resumimos esta información en una tabla de variación:

III. Deducir las soluciones de una ecuación a partir de la representación gráfica de una función

Las soluciones de la ecuaciónf(x) =kson las abscisasxde los puntos en los que la gráfica que representa a la funciónfcorta a la recta horizontal de ecuacióny=k.
En el caso particular de la ecuaciónf(x) = 0, las soluciones son las abscisasxde los puntos en los que la gráfica de la funciónfcorta al eje horizontal o eje de abscisas.
Ejemplo:

La curvaCrepresenta una funciónf.
El conjunto de soluciones de la ecuaciónf(x) = 4 es:S= {-2, 3}.
El conjunto de soluciones de la ecuaciónf(x) = 0 es:S= {-1, 2}.
Las soluciones de la ecuaciónf(x) =g(x) son las abscisasxde los puntos en los que la gráfica que representa a la funciónfcorta a la gráfica que representa ag.
Ejemplo:la curvaCes la representación gráfica de una funciónfy la rectaDrepresenta una funcióng. El conjunto de soluciones de la ecuaciónf(x) =g(x) es:S= {0, 3}.

IV. Deducir las soluciones de una inecuación a partir de la representación gráfica de una función

Las soluciones de la inecuaciónf(x) <kson las abscisasxde los puntos de la gráfica de la funciónfsituados por debajo de la recta de ecuacióny=k.
En el caso particular de la ecuaciónf(x) < 0, las soluciones son las abscisasxde los puntos de la gráfica defsituados por debajo del eje horizontal.
Ejemplo:

La curvaCrepresenta una funciónf.
El conjunto de soluciones de la inecuaciónf(x) > -2 es:.
El conjunto de soluciones de la inecuaciónf(x) < 0 es:
Las soluciones de la inecuaciónf(x) <g(x) son las abscisasxde los puntos de la gráfica que representa afsituados por debajo de la gráfica que representa ag.
Recuerda
—Para determinar el dominio de definición de una función, se leen los valores de las abscisasxde los puntos de la representación gráfica. Dicho dominio se escribe como un intervalo o unión de intervalos.
—Para conocer el sentido de variación en un intervalo, se recorre la representación gráfica de izquierda a derecha y se observa si los valores de las ordenadas aumentan o disminuyen.
—Para hallar las soluciones de una ecuación de la formaf(x) =k, se leen las abscisasxde los puntos en los que la gráfica que representa a la funciónfcorta a la recta horizontal de ecuacióny=k. En el caso de una inecuaciónf(x) <k, se leen las abscisasxde los puntos situados bajo la recta de ecuacióny=k.

Funciones

Calcular una función afín
Definir una función afín
Definir una función lineal del tipo_y=ax_o_f(x)=ax
Estudio gráfico de una función
Funciones y cálculos con expresiones algebraicas
Funciones y=x2ey=1 entre x
Funciones
Representación gráfica de una función a fin
Representación gráfica de una función lineal

El estudio gráfico de una función es una herramienta valiosa para comprender su comportamiento y características a través de su representación en el plano cartesiano. Al realizar el estudio gráfico de una función, podemos visualizar su forma, sus puntos importantes, sus tendencias y analizar su comportamiento para diferentes valores de la variable independiente “x”.

Para llevar a cabo el estudio gráfico de una función, sigue estos pasos:

1. Determinar el dominio y el codominio: Identifica el conjunto de valores permitidos para la variable independiente “x” (dominio) y el conjunto de posibles valores de la variable dependiente “y” (codominio).
2. Encontrar puntos clave: Calcula algunos puntos clave de la función para graficarlos. Puedes hacerlo evaluando la función para diferentes valores de “x”.
3. Graficar los puntos clave: Ubica los puntos encontrados en el plano cartesiano, utilizando “x” en el eje horizontal y “y” en el eje vertical.
4. Determinar la tendencia de la función: Observa cómo se comporta la función a medida que “x” se acerca a infinito positivo o negativo. También considera si la función presenta simetrías o puntos de interés, como máximos o mínimos.
5. Identificar asíntotas: Verifica si la función tiene asíntotas, que son líneas rectas que la función se acerca infinitamente sin cruzar.
6. Interpretar el gráfico: A partir del gráfico obtenido, interpreta la información relevante sobre el comportamiento de la función y su relación con el dominio y el codominio.

Es importante recordar que el estudio gráfico de una función nos proporciona una representación visual de su comportamiento, lo que nos permite obtener una comprensión más profunda de sus características. Además, el análisis gráfico es especialmente útil para identificar tendencias y patrones que pueden no ser evidentes solo con la ecuación algebraica.