Estoy en la parada del autobús y observo que los autobuses de la línea roja pasan cada 4 minutos, y que los amarillos paran cada 6 minutos. Uno de los conductores me ha dicho que cada 12 minutos coinciden en la parada un autobús rojo y otro amarillo. ¿Cómo lo puede saber?
I. Definición de múltiplo de un número
Decimos que un númeroaes múltiplo de otro númerob, sibestá contenido un número exacto de veces dentro dea. En otras palabras,aes múltiplo debsi somos capaces de encontrar otro númeroc, de tal manera que al multiplicarcxbnos déa.
Ejemplo 1: comprueba si 27 es múltiplo de 9.
Podemos afirmar que 27 es múltiplo de 9 porque:
—el 9 está contenido un número exacto de veces dentro de 27;
—porque existe un número, en este caso el 3, que al multiplicarlo por 9 nos da 27.
Ejemplo 2: comprueba si 36 es múltiplo de 5.
Decimos que 36 no es múltiplo de 5 porque:
—el número 5 no está contenido dentro de 36 una cantidad exacta de veces;
—porque no existe ningún número que multiplicado por 5 nos dé 36.
Notas:
Para expresar queaes múltiplo debse escribe así:
Por ejemplo, podemos expresar que:
.
Todo número es múltiplo de sí mismo: 15 es múltiplo de 15 porque existe el 1, de tal forma que al multiplicarlo por 15 obtenemos: 15 (1 · 15 = 15); luego:
El cero es múltiplo de cualquier número, porque siempre existe un número, el cero, tal que 0 ·a= 0. Por ejemplo, 0 es múltiplo de 7 porque existe un número, el cero, tal que al multiplicarlo por 7, nos da 0.
II. Los múltiplos de un número
1. Los múltiplos de un número son infinitos
Para calcular los múltiplos de un número, basta con multiplicar ese número por otros.
Ejemplo: calcula todos los múltiplos de 6.
Solución: multiplicamos 6 por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…, y obtenemos:
Podemos comprobar que los múltiplos de 6 nunca acaban; se dice que son infinitos.
2. Múltiplos comunes de varios números
Hay números que pueden ser múltiplos de varios números a la vez. Observa el ejemplo.
Ejemplo: escribe los quince primeros múltiplos de 4 y de 6 y busca en ambas listas si hay números comunes.
Solución:escribimos los múltiplos de 4 y 6 y después seleccionamos aquellos que estén en los dos grupos de múltiplos. Observa:
Decimos que 0, 12, 24, 36 y 48 son múltiplos comunes de 4 y 6.
3. Mínimo común múltiplo de varios números
Es el más pequeño de los múltiplos comunes de varios números, exceptuando el cero.
Si observamos el ejemplo del párrafo anterior, podemos comprobar que el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es el 12. Es decir, el 12 es el valor más pequeño de este conjunto de números:
, exceptuando el cero.
Para expresar de forma abreviada que 12 es elmínimocomúnmúltiplo de 4 y 6, lo hacemos así: m.c.m. (4, 6) = 12.
Vuelve a leer ahora el problema de la parada del autobús y tal vez comprendas por qué el conductor calculó con tanta facilidad que cada 12 minutos se juntaban dos autobuses en la parada.
4. Cálculo del mínimo común múltiplo de dos o más números por factorización
Hay un método más rápido de encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números, que no sea tener que escribir los múltiplos de cada número y seleccionar el más pequeño de los que comparten. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: calcula el mínimo común múltiplo de 9, 15 y 20.
Hacemos la descomposición factorial de 9, 15 y 20:
y la expresamos así:
Ahora escogemos aquellos factores primoscomunesy nocomunes(sin repetir) elevados almayor exponente. Es decir, escogemos el 22, el 32 y el 5.
Los multiplicamos y ya tenemos el mínimo común múltiplo: m.c.m. (9, 15, 20) = 22 · 32 · 5 = 4 · 9 · 5 = 180.
III Aplicaciones
1. Reducir fracciones a común denominador
En el trabajo diario con números fraccionarios nos vamos a ver en la necesidad de realizar comparaciones entre ellos y operaciones de suma y resta. Para poder abordar este tipo de actividad con estos números, es necesario que las fracciones con las que vamos a trabajar tengan el mismo denominador, y que ese denominador sea el más pequeño posible.
Resumiendo, dadas dos o más fracciones, se trata de obtener otras tantas fracciones equivalentes pero que tengan el mismo denominador. Veamos cómo conseguirlo usando el mínimo común múltiplo de los denominadores:
Ejemplo: reducir a común denominador las siguientes fracciones:
,
y
.
Factorizamos los denominadores:
y entonces,
Para hallar el mínimo común múltiplo escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. De este modo obtenemos que el m.c.m (12, 9, 18) = 22 · 32 = 4 · 9 = 36. Ya tenemos el nuevo denominador. Ahora tan solo nos queda calcular tres fracciones equivalentes a las originales pero que tengan por denominador 36.
Para ello, dividimos 36 entre 12, 9 y 18 (36: 12 =3; 36: 9 =4y 36: 18 =2). Ahora ya sabemos por cuánto tenemos que multiplicar los numeradores antiguos para obtener los nuevos: 5 · 3 = 15; 7 · 4 = 28 y 6 · 2 = 12.
Resumiendo: el denominador común de las tres fracciones es 36 y los nuevos numeradores son 15, 28 y 12, respectivamente. Así que
,
y
reducidas a común denominador quedarían de esta forma:
,
y
.
2. Resolver problemas
Muchos problemas de matemáticas que parecen difíciles se pueden resolver mediante un sencillo cálculo de mínimo común múltiplo. Vamos a verlo con un ejemplo.
Ejemplo: estoy en la playa por la noche y veo dos faros en la costa. Observo que el destello de luz de uno de ellos ocurre cada 8 segundos. En cambio, la luz del otro faro aparece cada 12 segundos. ¿Habrá algún momento en el que pueda ver el destello de ambos faros a la vez? Si es así, ¿cada cuántos segundos coincidirán los dos?
Solución: buscamos una cantidad de segundos que sea múltiplo de 8 y de 12. Pero además deberá ser el múltiplo común más cercano a 8 y 12. Es decir, estamos buscando el m.c.m. (8, 12).
Factorizamos 8 y 12:
y entonces,
Escogemos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente, y calculamos el mínimo común múltiplo. Así, el m.c.m. (8, 12) = 23 · 3 = 8 · 3 = 24.
Por lo tanto, comprobamos que las luces de los dos faros se verán al mismo tiempo cada 24 segundos.
Múltiplos y divisores
Divisores de un número. el máximo común divisor de varios números
Múltiplos de un número. el mínimo común múltiplo de varios números
El mínimo común múltiplo (MCM) de varios números es el número más pequeño que es múltiplo de todos esos números. En otras palabras, es el número más pequeño que es divisible exactamente por cada uno de los números dados. Calcular el MCM es útil en diversas situaciones matemáticas, como sumar o restar fracciones con diferentes denominadores. A continuación, te mostraré cómo calcular el mínimo común múltiplo de varios números:
Cálculo del mínimo común múltiplo:
Existen diferentes métodos para calcular el MCM de varios números. Uno de los enfoques más comunes es utilizar el método de descomposición en factores primos:
Paso 1: Descompone cada número en sus factores primos.
Paso 2: Identifica los factores primos comunes y no comunes a todos los números y multiplícalos para obtener el MCM.
Ejemplo de cálculo del mínimo común múltiplo:
Calculemos el MCM de los números 12, 18 y 24.
Paso 1: Descomponemos cada número en factores primos:
- 12 = 2 * 2 * 3
- 18 = 2 * 3 * 3
- 24 = 2 * 2 * 2 * 3
Paso 2: Identificamos los factores primos comunes y no comunes a todos los números y los multiplicamos:
- Factores primos comunes: 2 * 2 * 3 = 12
- Factores primos no comunes: 2 * 3 * 3 = 18
Paso 3: Multiplicamos los factores primos obtenidos:
- MCM = 12 * 18 = 216
Resultado: El mínimo común múltiplo de 12, 18 y 24 es 216.
Es importante mencionar que el MCM siempre es un número positivo o igual a cero, ya que el múltiplo común más pequeño de cualquier conjunto de números es 0.
