“20% de descuento hasta agotar existencias”, “el PIB ha subido un 3,7% este año”, “la inflación de este mes ha sido del 0,3%”, “la natalidad es del 16‰” (se lee: “16 por mil”). Seguramente habrás observado que estas frases se usan a menudo en la vida diaria.
¿Cómo podemos calcular e interpretar porcentajes?
I. Calcular y aplicar porcentajes
1. Un ejemplo
Problema: la población de una ciudad aumentó de 1.078.145 a 1.192.932 habitantes, según el censo realizado entre los años 2004 y 2005.
1. ¿Cuál ha sido el porcentaje de aumento de la población entre las dos fechas?
2. Si la población de esa ciudad siguiera creciendo los años siguientes con esa tasa, ¿podríamos estimar cuántos habitantes tendría la ciudad en 2008?
Solución:
1. Para calcular el porcentaje de crecimiento, tenemos que pensar que el aumento del número de habitantes (1.192.932 – 1.078.145 = 114.787) es proporcional a la población inicial (1.078.145 en 2004). Para hallarlo en base a 100 (%) tan solo nos queda imaginar una población inicial de 100 habitantes y encontraremos su crecimientox%.
Que escrito en forma de proporción es:
; operando y despejando:
;
;
.
Entre los dos censos, la población de la ciudad objeto de nuestro estudio se ha incrementado alrededor del 10,6%.
2. Desde 2005 hasta 2008 han pasado 3 años. La tasa de crecimiento calculada en el paso anterior nos dice que se producen 10,6 nacimientos por cada 100 habitantes en un año. Veamos esto en forma de tabla de proporcionalidad compuesta:
Y como igualdad de razones:
; operando y despejando:
;
;
;
habitantes más.
Por lo tanto, la población total de la ciudad en 2008 podría ser de
habitantes, aproximadamente.
Nota: cuando hacemos pronósticos, no es necesario que seamos demasiado precisos. Por ejemplo, en el problema que acabamos de resolver podíamos haber puesto como solución que el número estimado de habitantes de nuestra ciudad para el año 2008 será de 1.572.000.
2. Algunas reglas
Para aumentar una cantidad en unt%, podemos hacerlo directamente, multiplicando la cantidad por:
.
Por ejemplo, si queremos añadir el 16% de I.V.A. al precio de un ordenador que cuesta 900 €, solo hay que multiplicar 900 por
, es decir, por
. De forma más sencilla:
; el precio sería de 1.044 €.
También podemos hacer un descuento o disminución de unt% a una cantidad de forma rápida: multiplicando la cantidad por
. Por ejemplo, si queremos calcular el precio final de unas deportivas de 80 € que están rebajadas un 15%, solo hay que multiplicar 80 por
, es decir, por
. De forma más sencilla:
; el precio sería de 68 €.
Nota:puede haber aumentos porcentuales superiores al 100%. Por ejemplo, un aumento del 200% sobre una cantidad significaría multiplicar su valor por 2.
En cambio no puede haber descuentos superiores al 100%, ya que un descuento así supondría obtener las cosas ¡gratis!
II. Otros tipos de cálculos con porcentajes
1. Calcular el “porcentaje de un porcentaje”
Problema: en la etiqueta de un tarro de queso fresco pone: “45% materia grasa” y también “82% agua”. Por tanto, ¿cuál es el porcentaje de contenido de materia grasa del queso fresco?
Solución: este problema, en principio, parece que no tiene sentido, ¿cómo puede un queso contener más de un 127% (45 + 82 = 127) de ingredientes? En efecto, el contenido de grasa es calculado cuando el producto está seco: cuando el agua que contiene ha sido extraída de su masa.
Imagina 100 g del producto: tendría solo 18 g de extracto seco, sin agua (porque 100 – 82 = 18). Será sobre estos 18 g sobre los que calcularemos la cantidad de contenido graso.
Por tanto, hay 8,1 g de contenido de grasa (porque 18 × 0,45 = 8,1) por cada 100 g de queso fresco.
El contenido graso representa el 8,1% del peso del queso fresco.
2. Calcular un porcentaje combinado
Problema: en 1998 la venta de turismos en Francia fue de 225.200 de la marca Citroën y 322.340 de la Peugeot. En 1999, las ventas de Citroën crecieron alrededor del 4,5% y las de Peugeot también lo hicieron en torno al 21%. ¿Cuál fue el porcentaje de crecimiento en las ventas del grupo industrial Peugeot-Citroën?
Solución: queremos encontrar las ventas del grupo Peugeot-Citroën entre 1998 y 1999.
En 1998, el grupo vendió 547.540 coches (225.200 + 322.340 = 547.540).
En 1999, Citroën vendió 235.334 automóviles (225.200 × 1,045 = 235.334) y Peugeot vendió 390.031 automóviles (322.340 × 1,21 = 390.031,4), lo cual da un total de 625.365 coches vendidos por el grupo (235.334 + 390.031 = 625.365).
El incremento total en las ventas fue de 77.825 coches (625.365 – 547.540 = 77.825).
Llamaremosxal porcentaje que estamos buscando. Tenemos:
, por lo tanto,
, de donde obtenemos quex
14,2.
Las ventas del grupo Peugeot-Citroën aumentaron en 1999 alrededor del 14,2%.
Nota: como acabamos de ver, no hay una relación sencilla entre los porcentajes del problema (4,5% y 21%) y el porcentaje del resultado (14,2 %); observa que:
.
Porcentajes
Calcular y utilizar porcentajes
Resolver problemas de porcentajes
Calcular el índice de los precios
Resolver problemas de porcentajes es una habilidad valiosa para enfrentar diversas situaciones en la vida cotidiana, desde compras con descuentos hasta cálculos financieros. A continuación, te mostraré cómo resolver problemas de porcentajes:
Problemas de porcentajes:
- Calcular un porcentaje de una cantidad: Para encontrar un porcentaje de una cantidad, sigue estos pasos: a. Divide el porcentaje entre 100 para obtener su equivalente decimal. b. Multiplica la cantidad por el porcentaje decimal obtenido.
Ejemplo de cálculo de un porcentaje de una cantidad:
Si deseamos calcular el 25% de 200:
Paso 1: Dividimos 25 entre 100 para obtener su equivalente decimal: 25/100 = 0.25.
Paso 2: Multiplicamos 200 por el porcentaje decimal obtenido: 0.25 * 200 = 50.
Resultado: El 25% de 200 es igual a 50.
- Aumento o disminución porcentual: Para calcular un aumento o disminución porcentual en una cantidad, sigue estos pasos: a. Calcula la diferencia entre la cantidad original y la nueva cantidad. b. Divide la diferencia entre la cantidad original. c. Multiplica el resultado por 100 para obtener el porcentaje de aumento o disminución.
Ejemplo de aumento porcentual:
Si un artículo originalmente costaba 80 euros y ahora cuesta 100 euros:
Paso 1: Calculamos la diferencia entre la nueva cantidad y la cantidad original: 100 – 80 = 20.
Paso 2: Dividimos la diferencia entre la cantidad original: 20 / 80 = 0.25.
Paso 3: Multiplicamos el resultado por 100 para obtener el porcentaje de aumento: 0.25 * 100 = 25.
Resultado: El precio aumentó un 25%.
- Encontrar el valor original después de un aumento o disminución porcentual: Para encontrar el valor original antes de un aumento o disminución porcentual, sigue estos pasos: a. Divide el porcentaje de cambio entre 100 para obtener su equivalente decimal. b. Divide el aumento o disminución por el porcentaje decimal obtenido. c. Resta el resultado del paso b de la cantidad final.
Ejemplo de encontrar el valor original después de un aumento porcentual:
Si un artículo aumentó un 20% y ahora cuesta 120 euros:
Paso 1: Dividimos 20 entre 100 para obtener su equivalente decimal: 20/100 = 0.20.
Paso 2: Dividimos el aumento entre el porcentaje decimal obtenido: 120 / 0.20 = 600.
Paso 3: Restamos el resultado del paso b de la cantidad final: 600 – 120 = 480.
Resultado: El precio original del artículo era de 480 euros.
Resolver problemas de porcentajes es útil en diversas situaciones, como descuentos, aumentos salariales, tasas de interés, impuestos y muchos otros contextos financieros y económicos.
