La división entre dos números enteros cuyo cociente y resto son también enteros recibe el nombre de división euclídea, en honor al matemático griego Euclides.
En la división euclídea, ¿qué es un divisor?
I. Múltiplos y divisores
1. Definiciones de multiplos y divisores
Seanaybdos números enteros,bes undivisordeasi existe un número enteroq, tal quea=bq. Se dice queaes unmúltiplodeb, o queaesdivisibleporb.
Notas:
—sibes un divisor dea, entonces al dividiraentrebse obtiene de resto 0. Podemos por tanto escribir:a=bq, dondeqes el cociente deadividido entreb.
—algunas calculadoras tienen una tecla para la división euclídea; en ese caso, el cociente y el resto aparecen en la pantalla.
Ejemplo: ¿son 13 y 7 divisores de 221?
Efectuamos las divisiones euclídeas de 221 entre 13 y de 221 entre 7:
221 = 13 × 17, por tanto, 13 es un divisor de 221.
221 = (7 × 31) + 4, por tanto, 7 no es divisor de 221.
2. Criterios de divisibilidad
No siempre es necesario realizar una división para saber si un número entero es divisible por otro; repasemos los criterios de divisibilidad:
—un entero es divisible por 2 si termina en 0 o cifra par.
—un entero es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
—un entero es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
—un entero es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
—un entero es divisible por 10 si termina en 0.
—un entero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la suma de las que ocupan lugar impar es 0 o múltiplo de 11.
Ejemplo: de acuerdo con estos criterios, podemos decir que 975 es divisible entre 3 y entre 5, pero no lo es entre 2, 9, 10 u 11.
II. Los divisores de un número entero
1. Algunas reglas
Consideremos un enteroadistinto de 0 o de 1. Este número tiene por lo menos dos divisores: 1 y él mismo. Siempre se cumple que:a=ax 1. El número 1 solo tiene un divisor: él mismo. El número 0 es divisible entre cualquier número entero. Los divisores de un entero distinto de cero se pueden emparejar: por ejemplo, 8 y 9 son divisores de 72, porque 72 es divisible por 8 y por 9, y 72 = 8 x 9.
2. Método
Se puede explicar el método para hallar todos los divisores de un número entero con un ejemplo: hallar todos los divisores de 72. Se puede hacer dividiendo 72 entre los sucesivos enteros: 1, 2, 3… Cuando el resto sea cero, se cumple que: dividendo = divisor × cociente; escribimos esta ecuación en cada caso y el par de divisores obtenido (el cociente también es divisor del dividendo).
El proceso se detiene porque la siguiente ecuación, 72 = 9 x 8, da los divisores 8 y 9, que ya han sido obtenidos.
Los divisores de 72 son, por tanto: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.
III. Los divisores comunes de dos números enteros
1. Ejemplo
Hallar todos los divisores comunes de 72 y 54. Para ello, hallamos los divisores de cada uno de estos números usando el método anterior, y seleccionamos los números que aparezcan en ambas listas:
Los divisores de 72 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72.
Los divisores de 54 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54.
Los divisores comunes de 72 y 54 son, por tanto: 1, 2, 3, 6, 9 y 18.
2. Máximo común divisor
El máximo común divisor de dos enteros se escribe abreviadamente así: M.C.D., MCD o también m.c.d.
Ejemplo: el máximo común divisor de 72 y 54 es 18 (según los divisores de ambos, obtenidos en el ejemplo anterior).
Se escribe así: M.C.D. (72, 54) = 18. Volviendo a la lista de los divisores comunes de 72 y 54: 1, 2, 3, 6, 9 y 18, observamos que todos son divisores de 18.
Propiedad: los divisores comunes de dos números enteros son los divisores de su M.C.D. Si conocemos el M.C.D. de dos enteros, podemos hallar todos sus divisores para obtener los divisores comunes de estos dos números enteros.
Números enteros
Aplicar la propiedad distributiva
Calcular una expresión numerica-1
Calcular una expresión numerica-2
Los distintos tipos de números
Multiplicar números racionales
Orden de las operaciones
Sumar y restar números enteros
Calcular los divisores comunes de dos números enteros
Ordenar números enteros en orden creciente o decreciente
Números enteros
Calcular los divisores comunes de dos o más números implica encontrar los números enteros que son divisores exactos de cada uno de los números dados. Estos divisores comunes son aquellos números que pueden dividir a cada número sin dejar residuo. A continuación, te mostraré cómo calcular los divisores comunes:
Cálculo de los divisores comunes:
- Identifica los números para los cuales deseas encontrar los divisores comunes.
- Encuentra los divisores de cada número. Los divisores son los números enteros que pueden dividir al número original sin dejar residuo.
- Encuentra los divisores que son comunes a todos los números. Estos son los números que aparecen en la lista de divisores de cada número.
Ejemplo de cálculo de los divisores comunes:
Calculemos los divisores comunes de los números 12 y 18.
Paso 1: Encontramos los divisores de cada número.
Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Paso 2: Identificamos los divisores que son comunes a ambos números.
Divisores comunes: 1, 2, 3, 6
Resultado: Los divisores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6.
Recuerda que los divisores comunes son aquellos números que aparecen en la lista de divisores de cada número. En este caso, tanto 12 como 18 tienen los divisores 1, 2, 3 y 6 en común.
