Realizar operaciones con raíces cuadradas

Los matemáticos de la antigua Grecia solo conocían los números racionales (es decir, los que se pueden expresar como fracciones o cocientes de enteros), pero también demostraron que un cuadrado cuyo lado tuviese una longitud de 1, ¡tiene una diagonal cuya longitud no es un número racional! Esto arrojó sobre ellos un gran dilema. En la actualidad, sabemos que un cuadrado de lado 1 tiene una diagonal cuya longitud es exactamente

. El símbolo

, llamado radical, nos permite escribir ciertos números (las raíces cuadradas) de una forma más exacta, y nos permite realizar cálculos con estos números. La notación

, la cual data de finales del siglo XV, es debida al alemán Michel Stifel.
I. Definición
La raíz cuadrada de un númeroa, que se expresa como

, es otro númerobtal queb2 =a.
Ejemplo:

, porque 32 = 9
Pero sabemos que no solo 32 = 9, sino que (-3)2 = 9, por lo que:

Es decir, toda raíz cuadrada tiene dos soluciones distintas: una positiva y otra negativa.
II. Ejemplos de aplicación
1. Calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo

es un triángulo rectángulo, con el ángulo recto enR, tal queMR= 3 m yRP= 2 m. Queremos calcular el valor exacto de la longitudMP.

Como el triángulo

es rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras:
MP2=MR2+RP2, y sustituyendo,MP2= 32 + 22, de lo cual obtenemos queMP2= 13.
MPdescribe una longitud, por consiguiente es un número positivo; por este motivo, en este caso solo será válida la solución positiva de la raíz. Podemos deducir que el valor exacto deMPes

m.
2. Construir un segmento cuya longitud sea la raíz cuadrada den, siendonun número natural
Queremos, por ejemplo, trazar un segmento de longitud

cm.
—Primero construimos un triángulo rectángulo isósceles

con el ángulo recto enB, tal queAB=BC= 1 cm.
—Aplicando el teorema de Pitágoras a este triángulo, obtenemos

cm.
—Después construimos un triángulo, también rectángulo,

con el ángulo recto enC, tal queCD= 1 cm.
Usando el teorema de Pitágoras: AD2=AC2+CD2, y sustituyendo,

, con lo que obtenemos queAD2= 3.
Es decir:

cm.

Nota: por repetición de este proceso, podemos construir un segmento de longitud

, dondenes un número natural cualquiera.
3. Usar raíces cuadradas en trigonometría
Las raíces cuadradas nos permiten expresar el valor exacto del seno, coseno o tangente de algunos ángulos peculiares. Por ejemplo:

4. Calcular la distancia entre dos puntos del plano
SiA(x, y) yB(x’, y’) son dos puntos del planoxy, la distanciaABviene dada por la siguiente fórmula:

Ejemplo: queremos conocer la distancia que separa los puntosEyF. Es decir, queremos conocer la longitud del segmentoEF. Tenemos los puntosE(1, –2) yF(3, 4) en un plano coordenadoxydonde las unidades vienen dadas en centímetros. Queremos buscar un valor exacto.

, y operando,

, por lo que

.
El valor exacto deEFes, por consiguiente,

cm.
5. Resolver una ecuación
Queremos resolver la ecuaciónx² = 7. Gracias a las raíces, podemos demostrar que tiene dos soluciones:

y

.
6. Simplificar una expresión algebraica
Para simplificar la expresiónx² – 5, usaremos la definición de raíz cuadrada, la cual nos permitirá escribir:

Usando la igualdad notablea² –b² = (a–b)(a+b), obtenemos:

Ver también el artículo La raíz cuadrada: algoritmo de cálculo, propiedades y operaciones.

Raices

La raíz cuadrada algoritmo de cálculo propiedades y operaciones
Realizar operaciones con raíces cuadradas

Realizar operaciones con raíces cuadradas es una habilidad importante en matemáticas. A continuación, te mostraré cómo realizar algunas operaciones con raíces cuadradas:

Operaciones con raíces cuadradas:

1. Suma y resta de raíces cuadradas: Para sumar o restar raíces cuadradas, primero asegúrate de que los radicandos (los números bajo el símbolo de raíz) sean iguales. Luego, puedes sumar o restar los coeficientes que están fuera del símbolo de raíz.Ejemplo: √9 + √16 = √(9 + 16) = √25 = 5√25 – √9 = √(25 – 9) = √16 = 4
2. Multiplicación y división de raíces cuadradas: Para multiplicar o dividir raíces cuadradas, simplemente multiplica o divide los radicandos y deja la raíz cuadrada en el resultado.Ejemplo: √4 * √9 = √(4 * 9) = √36 = 6√25 / √5 = √(25 / 5) = √5 = √5 (no se puede simplificar más)
3. Simplificación de raíces cuadradas: Si es posible, simplifica las raíces cuadradas buscando factores cuadrados en el radicando.Ejemplo: √28 = √(4 * 7) = √4 * √7 = 2√7√80 = √(16 * 5) = √16 * √5 = 4√5

Recuerda que la raíz cuadrada de un número es otro número que, al ser multiplicado por sí mismo, da como resultado el número original.