Las potencias aparecen en numerosas fórmulas matemáticas y físicas. Por ejemplo, el volumen de una esfera viene dado por la fórmula
, dondeRes el radio.
¿Cómo podemos utilizar la definición y las propiedades de las potencias para calcularlas?
I. Utilizar la definición de las potencias
Queremos calcular los valoresA,B,C,D,E,F,G,HeIsiguientes:
A= 1,13 = 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,331.
B= (–0,2)5 = (–0,2) × (–0,2) × (–0,2) × (–0,2) × (–0,2) = –0,00032, ya que el número –0,2 es negativo y el exponente 5 es impar.
, que también se puede resolver así:
.
D= 1.7890 = 1, ya que todo número no nulo elevado a la potencia 0 es igual a 1 (sin embargo 01.789 = 0).
E= (–2.001)1 = –2.001.
F= (–1)2.001 = –1, puesto que el exponente es impar, hay un número impar de factores, y todos iguales a –1.
G= (–1)3.000 = 1, puesto que el exponente es par, hay un número par de factores, y todos iguales a -1.
H= –28 = –256. Es lo mismo escribir –28 que –(28).
.
Ver también artículo Usar las potencias.
II. Aplicar las propiedades de las potencias
En este apartado,aybson dos números distintos de cero, ynypson dos números enteros.
Queremos escribir los númerosA,B,C,DyEen forma de una potencia:
A= (–7)3 × 53 = (–7 × 5)3 = (–35)3
Hemos aplicado la propiedad:an×bn= (ab)n.
B= (–0,7)7 × (–0,7) 4 = (–0,7)7 + 4 = (–0,7)11
Hemos aplicado la propiedad:an×ap=an+p.
C= 43 × 4–9 = 43 – 9 = 4–6
Aquí también hemos aplicado la propiedad:an×ap=an+p. En efecto, 3 + (–9) = 3 – 9 = –6.
D= (2,35)3 = 2,35 × 3 = 2,315
Hemos aplicado la propiedad: (an)p=anp.
Hemos aplicado la propiedad:
.
Nota: ¡atención, no existen fórmulas para hallar la suma de potencias!
Por tanto:G= 32 + 52 = 9 + 25 = 34 (mientras que si sumásemos 3 + 5 = 8 y elevásemos al cuadrado: 82 = 64), ya que las potencias tienen prioridad sobre las sumas.
Potencias
Usar las potencias
Efectuar operaciones con potencias
Usar la notación científica
efectuar operaciones con potencias es una habilidad importante en matemáticas que nos permite realizar cálculos con números elevados a diferentes exponentes. A continuación, te mostraré cómo efectuar operaciones con potencias:
Operaciones con potencias:
- Potencia de potencia: Para calcular una potencia de una potencia, multiplica los exponentes.Ejemplo: (2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6 = 64
- Producto de potencias de la misma base: Para calcular el producto de potencias de la misma base, sumar los exponentes.Ejemplo: 2^3 * 2^2 = 2^(3+2) = 2^5 = 32
- Cociente de potencias de la misma base: Para calcular el cociente de potencias de la misma base, resta los exponentes.Ejemplo: 2^5 / 2^3 = 2^(5-3) = 2^2 = 4
- Potencia de un producto: Para calcular la potencia de un producto, eleva cada factor a la potencia indicada.Ejemplo: (3 * 4)^2 = 3^2 * 4^2 = 9 * 16 = 144
- Potencia de un cociente: Para calcular la potencia de un cociente, eleva el numerador y el denominador a la potencia indicada.Ejemplo: (5/2)^3 = 5^3 / 2^3 = 125 / 8 = 15.625
Ejemplo de operaciones con potencias:
Calculemos algunas operaciones con potencias:
- (2^3) * (2^2)
Paso 1: Resolvemos cada potencia por separado: 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8 2^2 = 2 * 2 = 4
Paso 2: Multiplicamos los resultados: 8 * 4 = 32
Resultado: (2^3) * (2^2) = 32
- (3^4) / (3^2)
Paso 1: Resolvemos cada potencia por separado: 3^4 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81 3^2 = 3 * 3 = 9
Paso 2: Dividimos los resultados: 81 / 9 = 9
Resultado: (3^4) / (3^2) = 9
Recuerda que las operaciones con potencias siguen las mismas reglas que las potencias individuales. Dominar estas operaciones te será útil para simplificar expresiones matemáticas y resolver problemas más complejos.
